这是 99.9% 的人没听说过的神奇悖论（上）

From Cloudiiink 中科院物理所 2019-04-02

在这个撸猫成风的年代，薛定谔的猫也跟着成为了大概是猫史最有名的猫之一了。

虽然现在提起它，刷刷猫猫表情包的时候人们大概只是想要戏谑和玩笑，但是在科学史上，那个盒子里藏着光怪陆离的量子理论和量子的世界，人们对于薛定谔猫这个悖论的手足无措，恰好反映了当时人们对于微观和宏观，确定性和不确定性以怎样的方式相互作用并纠缠在一起而困惑。

左边 8x8 的正方形，看上去和右边 5x13 的长方形面积一样大，难道 64=65？

在科学发展的漫漫长河之中，人们对于概念的困惑并不只有这一个，因此提出的悖论也层出不穷，比如飞矢不动，麦克斯韦妖，薛定谔的猫，双生子佯谬等。今天的我们来看看，关于悖论，除了薛定谔的猫以外，还有哪些神奇的东西。

克莱因悖论

Klein Paradox

计算模拟的波包在经过势垒时发生透射和反射

熟悉量子理论的话都知道量子隧穿的概念。正如我们常常用来比喻的“崂山道士”那样，微观的粒子具有穿墙术，有机会能够跨越能量的崇山峻岭，来到山的那一头。当我们把一个粒子甩向墙壁的时候，薛定谔方程一般会求解出粒子有一定几率在界面会发生反射——形象点理解的话，这个崂山道士学艺不是很精，穿墙还时灵时不灵的。

穿墙术，来自《崂山道士》

在1928年的时候，狄拉克提出了狄拉克方程，把狭义相对论引进到了量子力学当中，并预言了正电子的存在。克莱因用狄拉克方程求解了上面提到的量子隧穿的问题，结果惊人地发现，对于无质量的，遵守狄拉克方程的粒子而言，在一定条件下，势垒对于它们而言是透明的。这意味着，这些粒子的穿墙术有着 100% 的成功率。

用狄拉克方程计算微观粒子能否穿墙

当然，如果对于有质量的，遵守狄拉克方程的粒子而言，面对势垒，粒子大部分时候都还是保持了部分穿透的特性。可以想象，当势垒比起粒子本身的质量（质量与能量通过质能方程进行换算）大得多的时候，我们就回到了无质量的情形，粒子面对越来越高的势垒，反而越来越接近100%透射。你墙壁加得越高，跑出来的几率也变得越大。

给一张帅气的卢瑟福肖像画

克莱因悖论并不只是一个理论模型的计算，实际上它还打过卢瑟福的脸。在卢瑟福做完了金箔的 α 粒子的散射实验，发现原子内部大部分都是空的以后，还对 α 粒子进行了长期的研究，最后发现了原子核中，一部分是由质子构成的。他在1920年发表题为“原子的构造”（The building up of atoms）的演说，提出原子核是由带正电的质子和带负电的电子所组成的。

强相互作用力（Strong Nuclear Force）把原子核里面的中子和质子紧紧束缚在一起

但是你越想在原子核那么小的地方里关住电子，这些电子就跑得越厉害。假如原子核内只有质子和电子，根据克莱因悖论，电子大概早就跑干净了，卢瑟福的原子核模型不攻自破。直到1932年，查德威克发现了中子，人们才最终明白原子核是由质子和中子构成的。

亚里士多德圆轮悖论

Aristotle's Wheel Paradox

拉斐尔所绘雅典学院。

图中正中间蓝衣即为亚里士多德

在古希腊的时候，亚里士多德考虑了一件很好玩的事情。我们搞两个直径不相同的圆轮，把它们的圆心重叠在一起，在地面上做无滑动的纯滚动时，可以看到，两个圆的底部各自都划过了一条直线。两个圆的周长显然并不相同，但是两个圆的底部却划过了相同的距离，这确实是一件令人头大的事情。

按照一一对应的关系，似乎圆的周长应该都相等

当然，你如果觉得上述的滚动说法实在不是那么好理解的话，你也可以想象从两个圆的共同圆心处引出一条射线，依次与内圆和外圆相交。这意味着对于内圆上的任何一个点，我们都能找到外圆上的唯一的一个点与之对应。从「朴素」的数学观点来看，就像聚沙成塔一样，如果两个沙堆里的沙子都是一一对应的话，那显然这两堆沙子应该一样大才对。然而内圆和外圆周长，真的不一样啊。

图片取自伽利略的对话录

无独有偶，伽利略也思考过这个问题。伽利略走的是无穷逼近的路子。如果我们考虑的不是两个同心的圆，而是两个同心的正六边形的时候。在正六边形不断翻转的过程中，我们可以想象，下面的轨迹会被大的正六边形的边完全覆盖，但是上面的那条轨迹，会被跳着被小的正六边形的边接触。如果我们考虑极限，那么亚里士多德圆轮悖论里面看似一样的两条轨迹，实际上下两条轨迹并不相同。假设我们有一个「足够大」的放大镜，我们可以看到在上面 CE 那条轨迹里面到处都充满了空洞。

通俗地说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。

上述的这些关于无穷的思考启发了康托尔发明了集合论，就像在论证偶数的个数等于整数的个数那样：将所有的偶数除以2，就等到了所有整数；把所有的整数乘以2，就得到了所有的偶数；每个整数都唯一对应了一个偶数。

亚里士多德的圆轮上的点的数量也确实是相等的。但是点的数量和周长之间并没有什么绝对的关系，而这样也正是让我们思考最为困惑的地方。因此，数学家们还发展了测度论，用来对长度、面积、体积进行严格数学定义。

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