这是 99.9% 的人没听说过的神奇悖论（下）

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关于悖论，人们真的是充满了无穷无尽的好奇心和想象力。比如在空中永远能够灵活翻身脚着地的猫（高空坠落对猫咪依旧会造成伤害，不要尝试！不要尝试！不要尝试！），比如涂了黄油的面包永远是黄油那面着地。当然也有人把这个和涂了黄油的面包，永远是黄油的那一面先着地「巧妙」地结合了起来。

以为我要放这个？

有了黄油悬浮技术，还要啥自行车(╯‵□′)╯︵┻━┻

猫咪翻身来源于翻正反射。喵们通过折叠自己身体，使得前半身和后半身在不同的轴上旋转，从而达到了在空中角动量守恒的情况下身体翻了个个。这是发表在 1894 年《Nature》上的研究结果，你们可别笑 [1]。

当时的研究成果

真的，悖论就是这么充满吸引力。

理查德悖论

Richard's Paradox

通过筛法寻找质数，排除掉所有2的倍数，3的倍数，5的倍数……剩下来的就是质数啦

理查德悖论是在1905年时，由法国的一个中学教师，理查德发现的。这个悖论说的是这样一件事情，我们考虑一个能够用来定义整数的算术特征的语言，比如汉语。我们可以用语言「第一个自然数」来定义数字 1。又比如我们熟知的质数的定义——如果这个数「只能被一以及它自己整除」，那么该数字是一个质数。

每个人都能找到一些数字的特征，所有这些定义的数量是无穷大的。但是我们可以注意到，每个特征的定义都是由有限多的字组成的。因此我们可以把这些定义首先按照其字数多少进行排序，然后按照其字典顺序（或者按照其对应的编码的大小）定义排列成一串。

如果我们将每个定义映射到一个数上，让排在最前面的定义映射到1上，第二前面的定义映射到2上，等等。每个定义都有一个号码。

比如在某种定义的叙述下，「只能被一以及他自己整除」这个定义对应的号码恰好是11。而且11本身也只能被1和它自己整除，因此该定义的号码具有该定义的特征，我们称11不具有理查德性。但是「定义对应的号码满足该定义」这一点不一定总是正确的。比如假如「第一个自然数」对应的号码为4，那么它的号码与它定义的特征不同，这个数就是理查德性的。

埃舍尔名画《Drawing hands》，实际上也反映了类似先有鸡还是先有蛋的自指困境

但是因为理查德性本身是一个整数的特征，因此它也在被列举的定义之内。按照理查德性的定义，它本身也有一个号码 n。现在这个悖论来了：n是理查德性的吗？假如 n是理查德性的，那么按照定义它没有第 n个定义所描写的特征，也就是说 n不是理查德性的，这和我们的假设相反。

而假设  n不是理查德性的，那么它拥有第 n个定义所描写的特征，也就是说它是理查德性的，这也和我们的假设相反。因此「 n是理查德性的」既不能是正确的，也不能是错误的。

这个悖论产生的原因在于混淆了数学（比如算术）和元数学（比如一个定义的写法）的概念，这迫使人们仔细地区分这两者之间的区别。

罗素悖论

Russell's paradox

「我说的这句话是假话。」

估计很多人都玩过这个，让你判断这句话的真假：如果你说这句话是假话，那么就是肯定了句子的否定形式，即「我说的这句话其实是真话」；如果你说这句话是真话，那么就是肯定了这个句子，也就是「我说的这句话是假话」。

可以想象匹诺曹说出这句话时候的样子。实际上关于这句话到底是真是假学界内还有诸多争论的地方

上面这个被称为说谎者悖论。与之形式类似的还有很多，比如上面刚刚提到的理查德悖论，比如贝里悖论等。这些命题表面上没有循环，但实际上在兜了一个圈子以后又转回了原点，作为总体的元素、分子和部分反过来直接指称总体，或者直接用这个总体来定义。

我们经常提到的差点让数学大厦崩塌的罗素悖论，人们常把它和理发师悖论联系起来，这其实是不够准确的。理发师悖论和上面的说谎者悖论的结构相似，对于一个「只给不能给自己理发的人理发」的理发师，无论他要不要给他自己理发，都会导致矛盾。

「只给不能给自己理发的人理发」

如果你说就这么提出一个奇怪口号的理发师就能把数学颠覆了，确实不太对。这个悖论实际上告诉我们这样的理发师在现实生活中不能存在罢了。罗素悖论的核心在于，其颠覆了人们对于朴素的集合论的认知。

用来形象表示集合的维恩图

朴素的集合论认为，对于任何一个合理的性质P，都存在一个集合来刻画它，这个集合由所有满足P的对象构成。罗素首先定义一个性质P："不属于自己"，然后定义一个集合S，这个S就是满足P的那些集合构成的集合。集合S就成为了那个尴尬的理发师，既属于自己又不属于自己。

所以理发师悖论只是罗素悖论的一部分，问题的根本出现在集合的定义上。

希尔伯特计划

Hilbert's Program

关于数学基础，公理系统相容性的严谨证明，德国数学家希尔伯特曾经有过一个大胆的想法。他提出了希尔伯特计划，希望为全部的数学提供一个安全的理论基础。

1. 所有数学的形式化。意思是，所有数学应该用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。

2. 完备性。在形式化之后，数学里所有的真命题都可以被证明（根据上述规则）。

3. 相容性。运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾。

4. 保守性。如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”（如不可数集合）来证明，那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论。

5. 确定性。应该有一个算法，来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。

Kurt Friedrich Gödel    

所谓梦想很美满，现实很骨感，哥德尔向你扔出了哥德尔第二不完备定理，对于一个包含皮亚诺算术的形式系统，该系统的相容性不能在系统内部证明。这里「包含皮亚诺算术」是指可以推出描述自然数的命题的系统。不完备定理说，你总能在这个系统中，推出一个命题，以及它的否定。

总有那么一些定理，你既可以说它是对的，也可以说它是不对的

结  语

Conclusion

在上面提到的悖论里，可以分为逻辑上的和语义上的这两类。比如公理系统内的矛盾导致了罗素悖论，我们需要去完善作为基础的公理。语义上的矛盾可以通过一符号语言防止，在那样的符号语言中，无法表述叙述同一语言的表达式，这样也就避免了自指语句的出现。

在悖论的上下两篇里，我们粗浅地浏览了几个从物理上、历史上的所谓「悖论」，到现代数理逻辑中的悖论；有的悖论只是出乎人们的意料，有的悖论来源于人们对难以理解的概念——诸如无穷大和无穷小——的疑惑，有的悖论深深地根植于人们发展起来的公理系统中。

尽管它们把这个看似很美好的世界无情地打破，但是这又何尝不是探索这个过程本身呢。我们能做的是

在这个矛盾重重的世界里

永远保持一颗好奇心

大胆猜想，小心求证

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封面图片来自

http://www.iangibsonillustration.com/blog/2017/8/19/cat-and-buttered-toast-theory 

参考链接

[1] Marey, É.J (1894). "Des mouvements que certains animaux exécutent pour retomber sur leurs pieds, lorsqu'ils sont précipités d'un lieu élevé". 119: 714–717.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_cat_problem 

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Richard%27s_paradox 

[4] https://www.zhihu.com/question/20511488/answer/133390930

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox 

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_program 

编辑：Cloudiiink

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