听说你转发了无数条锦鲤，却一次都没中……

Original Cloudiiink 中科院物理所 2022-04-06

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从最开始的支付宝锦鲤，

到零食锦鲤旅游锦鲤各色锦鲤，

现在的各种锦鲤真的是铺天盖地。

虽然每个人从小到大抽过的奖，

不说成千，上百肯定是有的。

但是，

想抽的大奖天天在变，

每次的结果却一成不变。

喝了那么多年的饮料，每次打开瓶盖，永远只是「谢谢惠顾」，多么想要再来一瓶

不要悲伤不要哭泣，

请让我先测个心理阴影面积……

介绍

Introduction

当一个人伤心难过的时候，大家都不说自己难过到想哭了，而是说自己难过伤心到变形。难道是生活太过艰难，眼泪早已流干？

在你难过的时候，他们根本不会心疼你，

他们只会刷 233333

其实你伤心难过到变形也没关系，拓扑学告诉我们，经过连续变换以后，你还是你，拓扑性质是不会变的，到时候还是可以变回来的。

不过从一个科学研究工作者的角度来说，我们更想知道一个人在被伤透了心的时候，他身上发生了什么变化，而且最好是可以让人定量分析 被小编我拿来写文章的那种。幸运的是，这个物理量在几年前就已经被广大网友们发现并广泛传播。它被称为一个人的「心理阴影面积」。虽然我很想在这里列一个参考链接，但是其出处已不可考。

一般认为，这个概念是受到了流行于网上的小学奥数几何题的启发，与「心理阴影」这个词结合在一起。

一个正方形，两条曲线。一个是半圆弧，一个是 1/4 圆弧。求区域 a 的面积。这道题目就留给感兴趣的读者了[1]。©tianlynn

只要一个人处于难过，煎熬，无奈，哭笑不得等种种情况时，我们都可以求他们的心里阴影面积。例如：

小红被小花发了好人卡，在回去的路上又被车溅了一身水，求小红的心理阴影面积。

通过例子可以看到，「心理阴影面积」这个概念可以用于定量分析人类的情感变化，有着极强的普适性和广泛的应用前景。因此，如何正确地测量「心理阴影面积」，发展新的计算方法和探测手段，是十分重要而又基础的问题。本文将从现有的一些面积测量手段出发，建立「心理阴影面积」的定量测量理论。

面积的定义

Definition

所谓「一朝被蛇咬，十年怕井绳」，已经有众多实验现象证明了，心理阴影现象客观存在。但是如何进行定量的分析，还有待进一步的探索。因为心理阴影发生在人的内心，所以我们实际上并没有太过有效的测量手段。然而，我们可以通过测量其他的面积来描绘心理阴影面积。

在人伤心难过，心理情况出现变化的时候，一般人的表情都会有所变化。更具体地来讲，这些细节反映在皱起的眉头，眼角的皱纹，脸部肌肉形态的变化等，而这些形状的变化可用通过测量面部的阴影从而方便地得到。

躲在角落画个圈圈诅咒你，©sana217

从环境因素来看，当一个人的内心出现变化，变得比较伤心难过时，一般会选择「让我一个人静一静」。结合网络上比较流行的表情包，我们可以看到，伤心难过的时候人们会更倾向于躲在角落里，把自己的身体蜷缩起来。而这些身体位置和形态的变化，我们同样可以通过测量人影子面积的变化得到。

建立映射关系

尽管我们不能直接测量心理阴影面积，但是我们在我们可以测量的外部阴影面积和心里阴影面积之间建立了一个映射。本文以下主要讨论具体阴影面积的测量手段。

面积公式

Area Formulas

通俗地来讲，面积用来表示一个平面图形所占范围的大小。从更严格的定义出发，数学家们将面积定义为一个由平面图形的集合映射至实数的函数，对应的理论被称为测度论（也就是一个关于测量和度量的理论，研究的问题包括但不限于长度，面积和体积等）[2]。测度可以有很多种，我们日常生活中对应的测度被称为勒贝格 (Lebesgue) 测度。

几种常见的几何图形

关于面积的研究古已有之，农业上对于土地大小的计算，就要求人们能够计算面积。对于几种比较基础的几何图形，比如矩形，三角形，圆形，我们都已经知道了它们的面积计算公式。不过这些面积计算公式并不能胜任我们对于复杂阴影图形的面积计算的要求。

微积分

Calculus

提起面积，我们就不得不提到微积分。人们一直希望能够计算复杂的图形的面积，从阿基米德计算抛物线下方的曲边三角形算起，至今已有两千多年的历史。这个问题直至牛顿和莱布尼兹发明了微积分才正式得到解决。

通过小矩形不断地拟合复杂曲线下的图形，我们最终就能求得曲线下方的面积大小。

不过这个方法对于我们求解阴影区域的面积并不太适合，因为我们并不知道阴影区域的边界具体的函数形式。针对这种离散的问题，科学家们早已有所研究。

如果没有曲线，那我们就造一条曲线！

这就是插值：通过一条给定形式的公式，我们只需要拟合公式中的各个系数，就能还原出具体形貌的解析表达式。

目前插值方法的应用已经十分广泛，在实际使用中，为了减小误差，通常使用次数较低的多项式进行样条插值，而不是大家更为熟知的拉格朗日插值

一旦有了表达式，自然也就可以通过传统的积分方法计算面积的大小了。

皮克定理

Pick's Theorem

针对面积的研究已经有很多了，我们把目光放在一类特殊的多边形——格点多边形上。格点多边形即这个多边形的所有格点均为正方形格子点。针对这一类多边形，我们有一个很简单的面积计算公式。

多边形的面积等于内部格点数加上一半的边格点数，再减去 1

这个公式也被称为皮克定理。

这个定理对多边形的凹凸性并没有要求[3]

这个定理并不需要你的多边形是多么地规整，对于凹凸性也并没有要求，只要你的顶点都在格点上就好。这个定理的证明也十分地简单，利用数学归纳法，假设皮克定理对多边形 P 和三角形 T 都成立，在把图形拼起来以后，部分边上的点会变成内点，内格点的数量会增加，而边上总的格点数会减少，而这两部分正好抵消，皮克定理依旧成立。

上图中 A 代表面积，i 代表内点数量，b 代表边上格点数量，c 为两个图形重叠的格点数量。当然这个证明并没有完全完成，我们还需要验证皮克定理对于三角形成立[4]。

当然，如果觉得皮克定理记起来太麻烦，我们可以换一个角度来理解这个公式。我们想象在每个格点上都有一个圆盘，这些圆盘的面积就是整个多边形的面积。每一个在多边形内部的格点，贡献一个完整的圆盘，而每一个在多边形边界上的格点，贡献 1/2 个圆盘，这就解释了皮克定理前两项的来由。

而最后减去 1，是因为虽然我们要构成一个闭合的图形，在边包围的过程中恰好丢失了一个圆盘的大小，对应几何即「多边形的外角和等于 360 度」[5]。

如果我们在需要求解阴影部分建立网格，通过连线，我们就能把复杂的阴影区域转化为格点多边形，从而就能求出格点多边形的面积。如果格点画的足够密的话，我们甚至只需要计算内点的数量，就能求出面积（边上的格点数量在此时已经可以忽略不计了）。

至此，我们就把一个阴影面积的计算问题约化为了一个简单的数数问题。

光学

Optics

说了这么多，其实最简单粗暴的办法近在眼前：我们拍个照不就好了。

我们可以动态地测量阴影的变化

现在的计算机处理能力这么发达，通过简单的二值化，我们就能得到阴影部分。想要知道阴影面积？直接数像素点就 OK 了。光学测量手段虽然较为简陋，很容易把无关的阴影部分面积统计进来，但是，其最大的优势在于可以观察动态的阴影变化情况。如果用点学术的词语来说，就是我们可以观察系统的动力学演化过程。

结论

Conclusion