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为什么小姐姐能摇一晚上不倒?

The following article is from 数学模型 Author 大模头


引言

西安大唐不夜城“不倒翁”女孩街头表演的视频曾一夜走红网络。在大唐不夜城步行街,“不倒翁”小姐姐身姿轻盈眼神妩媚令人梦回大唐,一颦一笑将中国唐朝美人的妩媚娇羞演绎得淋漓尽致。

图 1. 小姐姐成名作:把手给我
图 2. 是不是也被这小眼神迷倒了

这勾人的小眼神,我觉得画面太美还能看 100 遍。尽管很美,但其实小姐姐表演得很辛苦。别只看到小姐姐在演出时体态轻盈、游刃有余,这背后可是下足了苦功夫。

图 3. 带 T 型架的底座,重达 250 公斤[1]

大唐不夜城的真人不倒翁演员都是经过层层选拔的,女性演员身高要在 163 厘米左右,体重不超过 50 公斤。扮演不倒翁的演员冯佳晨[2],今年 23岁,身高 163 厘米,体重 45 公斤。虽有近10年的舞蹈功底,但这个表演刚开始的时候对她来说真的不容易。因表演需要将下半身完全固定在如图 3 所示的铁架子上,仅靠腰部发力运作不倒翁的底座,冯佳晨每天表演完,胯和膝盖都会被磨青[3]

不倒翁,是一种最常见的玩具。通常形状像一个蛋型、上轻而下重,扳倒后还能自动竖立起来。历史最早记载唐代的捕醉仙[4]就是一种不倒翁。不倒翁不倒的原理并不难以理解:上轻下重的物体比较稳定,重心越低越稳定。当不倒翁在竖立状态处于平衡时,重心和接触点的距离最小,即重心最低。偏离平衡位置后,重心总是升高的。因此,这种状态的平衡是稳定平衡。所以不倒翁无论如何摇摆,总是不倒的。

图 4. 不倒翁原理。左:不倒翁在竖立时重心最低;右:不倒翁偏离平衡位置后重心升高

但不倒翁究竟是如何运动的呢?小姐姐又是如何操控不倒翁,让其自由的摇摆呢? 本文将建立不倒翁小姐姐的数学模型,研究不倒翁的运动方程,并通过计算给出小姐姐摇晃的最佳策略。

模型

先不考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力,建立一个简单的不倒翁模型。在此基础上,再建立一个考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力的模型。

简单的不倒翁模型

我们把不倒翁简化为仅在二维平面(图 5 中的  平面)内运动的半球。半球和地面均为刚性,两者无滑移。如图 5 所示的半球,其质量为 ,质心为 ,半球球心为 

图 5. 半球的质心

容易求得半球质心位置  和对  轴的转动惯量[5]

若该半球某时刻的位置如图 6 所示, 为半球重力,地面对半球的支撑力和摩擦力分别为  和 

图 6. 半球运动和受力分析图

为了确定运动方程,需要知道半球是如何运动的。我们用  与垂直方向的角度变量  来描述半球的状态。考虑点  和  的坐标

因此,质心  的速度为

其中  和  是  和  对时间的一阶导数。将  点速度对时间求导数,得到质心的加速度

现在让我们通过考虑作用在物体上的所有力来研究运动方程。运动方程不仅要考虑刚体的平动,还必须考虑到关于质心转动:

有三个方程,却有四个未知数()。要求解这个问题,还需要一个描述接触条件的表达式。对于不倒翁,假设半球与地面接触点没有滑移,则有

从而可得: 上式微分方程也可由欧拉-拉格朗日方程[6]导出,感兴趣的读者可自行尝试。上式微分方程可由 MATLAB 函数 ode45 函数给出数值解,并结合式  可完全确定不同时刻半球的位置和角度。计算结果如图 7 所示。

图 7A. 理想不倒翁模拟动画
图 7B. 角度 、角速度  和质心高度  随时间的变化。

模拟结果表明,如果地面没有滚动阻力(机械能守恒),不倒翁将不停的摇摆。角度  为 0 时速度,角速度  最大,重心  最低。

不倒翁小姐姐模型

在前文中,本文仅给出了一个不倒翁玩具在理想地面上的运动状态。而实际上不倒翁小姐姐的底座在摇晃的过程中是受到滚动阻力的,小姐姐的腰部在不停地扭动。为了了解小姐姐到底是如何将不倒翁摇晃起来的,接下来将建立一个考虑滚动阻力和小姐姐摇晃的模型。

根据网络上的视频和图片,假设整个不倒翁底座重  kg,是由质量为  kg,半径为  m,厚为  m 的铁制半球形圆壳和质量为  kg,半径为  的球缺()配重以及支架(忽略支架的质量)组成。小姐姐身高  ,体重 。如图 8 左图所示。

图 8. 不倒翁小姐姐模型图

实际摇晃过程中,小姐姐只能通过摇晃上半身带动底座摇晃。因此可将小姐姐简化为两个由铰链连接的圆柱(图 8 中图)。假设小姐姐的密度[7]为  ,则容易求得圆柱半径为  m。假设小姐姐腰以下长  m,腰以上长  m。小姐姐的腰部以下固定在 T 字型支架上,因此我们将小姐姐的下半身与底座看成一体(图 8 右图),质量为  kg,转动惯量为  。小姐姐上半身质量为  kg,转动惯量为  

图 8 右图是对两部分的受力分析,将小姐姐上半身对下半身的作用力简化为力  和力偶矩 。在底座实际滚动过程中,由于地面和底座的变形,地面对底座的支撑力  的作用点并不在  点,偏离距离  可由滚动阻力系数给出。与简单的不倒翁模型类似,我们可以定义出  和  的坐标、速度和加速度,然后分别给出系统两部分的动力学方程,对于底座和小姐姐的下半身组成的整体有  对于小姐姐的上半身有 根据以上六式以及  可以求解出 ,由于表达式比较复杂,这里不再列出。小姐姐可以通过  来控制 ,即小姐姐可以通过摇晃上半身来使整个不倒翁底座摇晃起来。假设小姐姐摇晃的  随时间的变化满足: 其中  为摇晃幅度, 为摇晃周期。

求解

经过我们的分析,终于得到了小姐姐的摇晃方程。可有人说看不懂方程,也不想看方程,就要看小姐姐摇。没办法,为了满足读者的要求,我们只好写段 MATLAB 程序模拟一下。不倒翁底座的摇晃方程可以由 ode45 函数直接求解,但为了加快程序运行速度并实时显示,使用了 Euler 法求解,时间步长取  s。模拟的主要步骤如下:

  • 根据时间确定上半身相对于底座的角度 、角速度  和角加速度 
  • 根据角速度更新角度:
  • 根据角加速度更新角速度:,其中角加速度  由运动方程给出。
  • 确定底座球心  的水平位置:
  • 根据底座球心  的水平位置,以及底座的转动角度,确定半圆位置。
  • 更新时间步 。如果  s,结束;否则跳到第 1 步。

为了模拟的视觉效果,我们还需要动态展示出结果。为此专门写了一个函数用来画底座半圆和性感的小姐姐。绘制结果如图 9 所示。很多人看了我画的小姐姐,表示震惊:实在是太像了,将小姐姐妙曼的身姿展现得淋漓尽致,这大长腿,这伸出的纤纤玉手。

图 9. 小姐姐和半个球,我画的小姐姐是不是很性感!

根据运动方程,算出某时刻半圆心的位移以及角度后,需要对半圆和小姐姐进行平移和旋转,平移容易。旋转可根据以下公式进行: 以上公式将点  绕  旋转  角。将以上公式写成 MATLAB 函数 rotxy。

结果

为了研究小姐姐究竟是如何通过摆动上半身将底座摇晃起来的。我们研究了不同情况下,底座摇晃的规律。

若小姐姐不摇晃,即摇晃幅度,并且没有滚动阻力,即,则模型退化为简单的不倒翁模型,对于,结果如图 10 所示。

图 10A. 没有滚动阻力,小姐姐不摇的模拟动画
图 10B. 没有滚动阻力,小姐姐不摇时角度和腰部受力变化

结果表明,即使小姐姐不摇晃,小姐姐的腰也受到周期性的作用力。若加入滚动阻力的考虑并假设 ,则结果如图 11 所示。

图 11A. 有滚动阻力,小姐姐不摇的模拟动画
图 11B. 有滚动阻力,小姐姐不摇时角度和腰部受力变化

结果表明,在滚动阻力的作用下,不倒翁底座会逐渐停止摇晃。也就是说,在实际情况中,想要保持不倒翁底座的摇晃,小姐姐必须持续不断的摇晃身体。

接下来我们讨论小姐姐摇晃身体的周期对不倒翁底座运动的影响。假设小姐姐摇晃身体的幅度 。研究表明,小姐姐身体的摇晃与不倒翁底座的摇晃之间会产生共振效应,当小姐姐摇晃身体的周期  s 时,不倒翁底座摇晃的幅度最大,结果如图 12 所示。

图 12A. 小姐姐摇晃周期为 2.18 s 的模拟动画
图 12B. 小姐姐摇晃周期为 2.18 s 时角度和腰部受力变化

而更小的周期(如  s,结果见图 13)或更大的周期(如  s,结果见图 14)都不能让不倒翁底座大幅度地摇晃。

图 13A. 小姐姐摇晃周期为 1 s 的模拟动画
图 13B. 小姐姐摇晃周期为 1 s 时角度和腰部受力变化
图 14A. 小姐姐摇晃周期为 3 s 的模拟动画


图 14B. 小姐姐摇晃周期为 3 s 时角度和腰部受力变化

结论

  • 通过运动和受力分析可以求解出不倒翁小姐姐的运动方程,并可以确定出小姐姐与底座发生共振的最佳摇晃周期。
  • 小姐姐能大幅度摇晃的最佳周期为 2.2 s 左右。若小姐姐照此周期不停的摇,一小时大约要晃  下。
  • 在本文的最佳周期模拟中,小姐姐晃动幅度约为  ,这相当于要晃出 1 m 左右的距离,一个周期内腰移动的距离约为 4 m。小姐姐腰间平均水平发力在 130 N 左右。因此一个周期小姐姐做功约 520 J,摇 1 小时做功约 850 kJ。因为仅考虑了水平方向的力,实际上这低估了小姐姐实际做功。
  • 根据上面两条结论,可知“不倒翁”小姐姐摇一晚上真的很累,为“不倒翁”小姐姐点赞!
  • 听说不少群众模仿“不倒翁”小姐姐并闪了腰,请大家小心模仿。此外,骨科专家也告诫大家谨慎模仿。

附录

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参考资料

[1]

曲江新区,不倒翁小姐姐的秘密终于藏不住了: https://kuaibao.qq.com/s/XAC2019112600405400?refer=spider

[2]

百度百科,冯佳晨: https://baike.baidu.com/item/冯佳晨/24144236

[3]

南京晨报,西安“不倒翁”女孩的表演走红网络,大家都想牵她的手!: https://new.qq.com/omn/20191117/20191117A03D2I00.html

[4]

Roly-poly toy --- Wikipedia, The Free Encyclopedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Roly-poly_toy

[5]

Mass moment of inertia of a hemisphere: https://blitiri.blogspot.com/2014/05/mass-moment-of-inertia-of-hemisphere.html

[6]

Euler–Lagrange equation --- Wikipedia, The Free Encyclopedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Lagrange_equation

[7]

Body composition during growth in children: limitations and perspectives of bioelectrical impedance analysis: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/26039314


来源:数学模型

编辑:小林绿子


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