在密铺的瓷砖背后，隐藏着令人毛骨悚然的幻影....
认真阅读下面的文章，并思考文末互动提出的问题，严格按照 互动：你的答案 格式在评论区留言，就有机会获得由机械工业出版社提供的优质科普书籍《人人可懂的深度学习》一本。
如果你擅长利用圆规和直尺创造各种神奇的图案，你会发现各种边为弧形的有趣图形。让我们看看弧形构成的简单几何形状吧。
一个简单的例子是由等边三角形的顶点构成的曲边三角形（Reuleauxtriangle）（如图一所示）。依次将圆规顶点放在三个顶点上，然后绘制连接剩余两个顶点的圆弧，这样便得到了三段圆弧组成的曲边三角形。三条弧所对应的圆周角都为 60° 。曲边三角形是唯一一个边由弧形构成，且弧形的中心为顶点的曲边形状。
通常，圆弧的形状主要由两条信息定义：圆的半径和圆弧角。我们可以找到圆弧中心与图形顶点存在有趣关系的其他弧边图形，比如图二中的三种图形。从图形顶点出发绘画新的圆弧，得到的图形与原始图形之间存在旋转或镜像关系。此外，原始图形中每段圆弧对应的的圆心同样位于新图形的顶点，因此不难看出这个绘制的过程是可逆的。
新绘制的图形被称为原始图形的“幻影”，它是由原始图形顶点绘制的圆弧构成的，它与原始图形形状一致，但存在旋转或者镜像的关系。上面提到的曲边三角形是自参照的：它是自身的幻影。你可能觉得这些幻影跟随着原始形状虚无缥缈地存在着，就像一种幽灵般的存在。
当数学家们遇到二维图形时，他们经常会问自己一个问题：类似于正方形瓷砖可以铺满整个广场，如果给你这个形状的瓷砖，你能用它来平铺整个平面吗？
对于目前提到的这四种形状而言，答案是“不”，这几种形状都不能单独平铺一个完整的平面。用弧边图形铺满平面需要等量的凹面和凸面圆弧。
接下来，让我们看看第五种形状，或者说一类形状。
三曲线
任意的三曲线都能周期性地平铺：将三曲线图形沿着某个方向平铺，就会得到如图四的形状。
如果构成三曲线的弧度的角度是 360° 的因数，而且弧线满足特殊的比例（比如 1:2:3 ），那么三曲线就会具有径向和非周期性质的平铺属性，这个性质非常有趣，你可以自制这个拼图进行尝试。
每个三曲线都可以升序的三个弧角来形容，其中两个凹弧的和为大的凸弧的值。迄今为止制作的拼图多是用 30°-60°-90°（图五1）或 36°-72°-108° 弧度（图五2）的三曲线制成，当然还可以用其他角度或者比例的图。除了单面平铺之外，还可以用多种类型的方式平铺。
三曲线的幻影
三曲线的幻影是什么样子的？每个三曲线都存在对应的幻影，将三曲线按照一个固定的旋转中心旋转 180° 得到其幻影，根据三曲线的不同，幻影可能会跟原形状分离，也可能会重叠。
为了确定或者可视化三曲线的幻影，只需要三曲线旋转半圈，再将连接两个凹面的那个顶点定位在原始大圆弧的中心。例如，对于任何具有 180° 大弧的三曲线，无论两个较小的弧线如何，幻影的中间顶点都位于半圆的中心。
对于一些对称的三曲线，幻影是原始形状旋转 180° 之后的样子，也是初始图像沿原始三曲线对称轴的镜像对称图案。
用幻影进行平铺
当利用三曲线平铺平面时，观察平铺三曲线的幻影，会发现幻影也在进行平铺。正如预测的那样，周期平铺也会使得幻影周期排列。
但是，仔细观察这个形状，会发现事情不是那么简单的。在图九中，你必须得仔细观察才能发现哪个幻影跟原始形状是搭配的。你会发现，除了整组原始三曲线发生了 180° 旋转之外，幻影位置还变了。如果将幻影位置逆旋转 180° 会发现这组排列位置变了。
如果用不同大小的三曲线，这一现象会更加明显。在图十中，可以看出幻影不仅仅旋转了 180° ，而且位于彼此对立的两边，不再共享一条弧。
这种怪异的行为也出现在径向的平铺中，对于图十一来说，星星或者花瓣形状的三曲线的幻影，是一个环形。
因此，当利用三曲线进行平铺时，其对应的幻影也以一种非直观的、转置的方式来平铺。仔细想想，当你将三曲线形状的材料进行平铺时，其对应的幻影也在一种奇怪的方式进行平铺，这件事让人感到毛骨悚然。
用三曲线填充特定的形状会发生什么？
填充圆形
填充圆的方法有许多，而这里介绍一种普通的方法。首先用最大的三曲线来进行填充，然后向下寻找次一级最大的圆弧进行填充，以此类推，将“剩余镜片”留在下半部分的周边。然后，这些剩余镜片被逐渐变小的三曲线填充，直至变为无限的序列。
这里列举四种方法，每种方法的介绍仅深入到一定的填充程度。
方案 A 是利用对称的方法填充，每一层的弧线都一分为二，如下图所示：第一个三曲线弧角为 90°-90°-180°，第二层是 45°-45°-90° ，第三层是 22.5°-22.5°-45° 。
或者，可以将三曲线最小的弧角保持为 22.5° ，利用从同一点出发的圆弧（图十四左），或者大的三曲线交错的形式（图十四右）来完成填充。
这两例都用了七个三曲线，只是排列方式不同，两种情况下顶部的三曲线都是 22.5°-157.5°-180° 。同时，以上三种填充方式，未填充的下半周的镜片数量和尺寸都相同，恰好是八个 22.5° 的镜片，这些镜片也最终会用无限的小的三曲线来进行填充。
方案 D 是方案 B 的变体，只不过是用更细的三曲线进行的填充。刚开始，我们可以用 5° 的小角度（5°的小圆弧）来进行填充，最大的三曲线是 5°-175°-180° 。
图十五没有显示圆下半部分的圆弧和镜片，因为将其做的很小，所以在这个尺度下很难区分。随着小圆弧的角度大小趋近于 0° ，主要的三曲线的会趋近于无限多，而剩余要填充的镜片也会无限小。这似乎是最简单，也是最优雅的填充圆的方法。
此时，填充三曲线的幻影是什么样子的？
考虑上面 A-C 三种情况下的幻影，如图十六所示。
方案 A 中对称的三曲线填充比较简单，每个幻影都是原始图形的镜面对称，顶点在原始图形的对称轴上。方案 B 和 C 的幻影如图十七所示。
可以发现，三种情况生成的幻影都是一样的，这是为什么呢？
如果继续填充图形剩余的镜片，会发生什么？以方案 A 为例，继续填充的图形如图十九所示。
对于 A-C 继续进行填充得到的结果是一样的。对于每种填充方式，幻影填充新形状外侧的凸起之间的缝隙，或者向上延伸尖端。极限形状是一个半径为原始圆的直径的半圆，减去两个原始的半圆形状，如图二十所示。无论用对称还是不对称的三曲线对圆进行填充，其幻影得到的结果是一样的。因此，幻影创造并填充了一个新的形状：一个对称的方圆（arbelos，由三个半圆组成的形状）。
当方案 D 采用同样的极限情况时，得到的结果相同：随着填充的三曲线的数量接近无限大，幻影的形状接近对称的方圆。
我们可以反过来做，虽然会有点困难：我们可以从对称的方圆开始，用无穷的三曲线填充它，然后制作这些三曲线的幻影，最后回到填充圆。无论圆是如何用三曲线填充的，这都是正确的。因为对称的方圆是填充圆中所有幻影三曲线的并集，所以我们称对称的方圆是圆的超级幻影。反之亦然，因为它是可逆的。因此，一个形状的超级幻影是该形状的填充三曲线的幻影结合的轮廓。
回到镜片
将上面对圆的操作同样作用到镜片上。回到方案B，从整个圆中找到一个镜片（橙色轮廓），其对应的超级幻影图二十二所示。
更多子分级的镜片和其幻影。
如果将不同级别的镜片并排比对，会发现图二十四的结果。
用三曲线填充镜片的方法还有很多，我们也可以用小于 22.5° 的镜片进行填充。就像我们填充圆时所做的那样，可以将其填充到极限。最后，对于任何镜片，超级幻影都是一个广义对称的方圆，而其中弧度可能会小于 180° 。这里有一个由三条角度相同的圆弧构成的初始镜片，镜片跟其幻影的关系如图二十五所示。
减去超级幻影
最后，我们注意到镜片和超级幻影可以从更大的镜片和超级幻影中减去。在下面的图中，在原始镜片（左）中移除了两个较小的镜片（中），从而得到了一个三曲线（右），而超级幻影在这个过程中相应地发生了改变。
再来看另一个例子，从一个圆中减去两个镜片，对应的超级幻影则是从完全对称的方圆中减去两个广义对称的方圆。
你可能会注意到，在上面的两幅图中，两个较小的镜片从较大的镜片上取下，剩下的形成了一个三曲线。由此产生的超级幻影也是该三曲线的幻影。事实证明，对于任何三曲线，超级幻影都和幻影一样！
这篇文章从简单的直尺和圆规开始，从圆弧到镜片，到三曲线，到幻影，到填充圆，超级幻影再到方圆。但还可以再进一步，把圆圈和其超级幻影结合起来，你快动手试一试吧~
作者：Tim Lexen
翻译：Nuor
审校：C&C
原文链接：
https://plus.maths.org/content/ghosts-tiles https://plus.maths.org/content/ghosts-tiles-continued
fu
福
li
利
shi
时
jian
间
今天我们将送出由机械工业出版社提供的《人人可懂的机器学习》。
深度学习正从各个方面深刻影响和改变着人类的当代生活。你从媒体上得知的有关人工智能的绝大部分重大突破都是依赖深度学习实现的。深度学习通过从大型数据集中识别和提取模式，使得数据驱动的决策成为可能。本书正是帮助普通读者了解深度学习是什么，它从何而来，它是如何发挥作用的，它能够帮助我们做什么，以及未来十年深度学习将会如何发展。
本书解释了深度学习中的一些基本概念，介绍了该领域的发展历史，并讨论了当前的技术水平。本书还描述了重要的深度学习架构（包括自动编码器、循环神经网络和长短期网络）以及新的发展（如生成对抗网络和胶囊网络），并全面介绍了深度学习中的两种基本算法：梯度下降和反向传播。最后，本书讨论了深度学习的未来——发展趋势和重大挑战。
【互动问题：生活中，曲边都用在哪些方面？相对于直线都有什么特殊应用？】
请大家严格按照 互动：问题答案 的格式在评论区留言参与互动，格式不符合要求者无效。
截止到本周四中午12：00，参与互动的留言中点赞数排名第二、四、五的朋友将获得我们送出的图书一本（点赞数相同的留言记为并列，下一名次序加一，如并列第二之后的读者记为第三名，以此类推）。
为了保证更多的朋友能够参与获奖，过往四期内获过奖的朋友不能再获得奖品，名次会依次顺延
*本活动仅限于微信平台
编辑：zhenni
近期热门文章Top10
↓ 点击标题即可查看 ↓1. 苏炳添头发风阻太大，剪头后可以进前三么？2. 数学教材里的神秘数表在国外红出圈，网友：引人入胜、猜不到结局3. 湖北地名，为何一身“江湖”豪情？4. 因为物理规律，野外玩水时看起来安全的地方反而危险5. 为什么饮料瓶底都是凹进去的？| No.2696. 没冰箱没空调，古人夏天怎么熬？7. 电子真的圆得完美无缺吗？8. 香蕉有辐射？要吃多少根香蕉才能达到辐射致死量？9. 要想水花压得好，你得……10. 那些会在遥远未来发生的事…… 点此查看以往全部热门文章