禁止花椰菜、视网膜和咖啡壶套娃

首先提问：标题里的三个东西都有什么相似点？
可能大多数人觉得这个问题类似于在问“禅和摩托车维修技术”怎么联系到一起的，或者类似于《生活大爆炸》里霍金的经典段子。

当然我们要讨论的并不是禅或者谐音老梗（毕竟花椰菜broccoli这种东西也只能谐音布莱德利），要讨论的实际上是这些东西在形状特征上的相似性。至于你非要告诉我这三个东西都会让人抓狂——例如一个不爱吃花椰菜的近视眼小孩煮咖啡烫到自己——我的评价是：

毕竟我也不能说你是错的对吧（被烫到确实会让人抓狂）

言归正传，这三样东西（花椰菜，视网膜血管，咖啡壶）在形状上有什么相似点呢？当然，指望一眼就看出来那属实有点强人所难。不如就以一号选手花椰菜为例，如果脑海里没有印象就看一下下面的图片：

我每次吃麻辣烫必点的菜品

去除绿色的叶子部分，当掰下花椰菜的一小块分叉之后，你会发现这一小块和之前的大块花椰菜长得很像——几乎就是缩小版花椰菜。换句话说，花椰菜它和自己的一部分相似。

我觉得没有掰过花椰菜的人生是不完整的（大雾）

当然，生物界不可能存在这么完美的相似，但这不妨碍我们把这种情况抽象化严格化，即：对象和自己的一部分相似。这样的性质就称之为“自相似性”。花椰菜里有一位专业选手，它的外形很接近这种严格化定义了，就是著名的罗马花椰菜。

据说有个俗名叫青宝塔，我觉得法海可以用这个镇白娘子（bushi）

OK，我们现在可以说，已经找到了花椰菜的一个形状上比较显著的特点了。那么视网膜和咖啡壶也有吗？对于视网膜视网膜来讲，似乎是可以类比的。尽管在整体上并不像花椰菜这样有很好的自相似性，但是对于视网膜血管的不断分叉来讲，每一次更小的分叉和之前的分叉似乎仍然有类似的地方，勉强也能称之为自相似性。

晕血的童鞋建议不要看~~

于是乎，通过前两个东西的类比，我们先得出了一类有着特殊性质的物体：它们和自己的一部分相似，即具有自相似性。我们自己就可以构造这样的图形。例如取一个实心的等边三角形，沿三边中点的连线分成四个小三角形，接着去掉中间的那一个小三角形，最后对其余三个小三角形重复这一套流程，你就会得到著名的“谢尔宾斯基三角形”。它的每一小部分都和自己完全相似。

谢尔宾斯基三角，以及具有同样性质的科赫雪花和门杰海绵

理论上，你可以这样构造很多很多的奇异的图形。这种性质的图形，完全应该有个门类来包罗它们，事实上也正有着这样的门类。这也就是大多数人接触的分形的定义，即：分形是具有自相似性的几何对象，或者说在标度变换下的自相似性。而分形的引入，要归功于著名数学家芒德布罗（Mandelbrot）。

本华·芒德布罗（Benoît B. Mandelbrot，1924－2010），波兰裔数学家。

其实早在十九世纪，数学家已经构造出了一些“病态”的图形，例如1883年康托尔就构造了著名的“康托尔三分集”。但是在传统物理学观念上，光滑或者规则的东西才是自然的产物。按照微积分的想法，只要划分得足够小，任何东西都是光滑的，因此病态的图形并不在研究范围之内。芒德布罗则指出：“浮云不显球形，山峰不是锥体，海岸线不是圆圈，树皮并不光滑，闪电从不沿直线行进。”1982年他创造了“Fractal”这个单词，分形几何学就此诞生了。分形具有“分形维数”，例如科赫雪花的维数约为1.262。1.262大于1而小于2，因此科赫雪花的长度是无限长而面积却是零。

这么一看，花椰菜和芒德布罗确实是心有灵犀一点通。（暴言）        其实，芒德布罗对于分形有着更为严格的定义。“自相似”这个性质，可以但是没必要。芒德布罗本意是处理粗糙的东西。例如，你一定听说过“英国的海岸线无穷长”这个故事，而英国海岸线很难说具有自相似性。但是我们同样可以计算出英国海岸线的维数（实际上大约是1.21）。此外，线段在某种分割方法下也具有自相似性，这并不能说明线段也是分形。
芒德布罗对分形的严格定义是：豪斯多夫维数比拓扑维数高的图形。拓扑维数总是整数，但豪斯多夫维数可以取所有正实数。至于豪斯多夫维数是什么，这就是测度论的事情了。一般情况下，由于实际物体的精度限制（毕竟放大倍数有限，英国海岸线总不能放大到原子尺度），采取容量维数来计算是个很好的办法。具体的计算方法参考赵凯华老师的《新概念物理·热学》（别问，问就是作者在偷懒）
对于像英国海岸线这种非严格自相似的分形，它们的某些性质在统计平均上具有自相似，因此也被称为“无规分形”。视网膜血管其实就是一种无规分形的例子。计算机上可以通过采取一定的无规生长的模型来描述自然现象。最经典的模型被称为扩散置限聚集（diffusion-limited aggregation, DLA），很多生物学现象都可以用DLA模型来解释。具体的的生成方法如下：在二维方形格点中央放置一个静止的粒子作为生成种子，再从很远的边界上随机释放一个粒子做无规行走。如果这个粒子走到了静止粒子相邻的位置就停下来粘合形成聚集体。当此粒子被粘合或者走出边界时，从边界上再释放一个粒子，重复以上的步骤。可以证明，这种模型具有统计意义上的自相似性。如果在这个集团内部任选一个点取不同的半径R作圆，可以发现，圆内包含的粒子数正比与R的1.6次方到1.7次方。这就说明DLA模型的分形维数是1.6~1.7。

扩散置限聚集模型（上）与一些实例

图源：赵凯华 罗蔚茵《新概念物理·热学》第二版P256、P257

说了这么多，我们似乎忘掉了三号选手咖啡壶。它又是什么情况？煮咖啡的关键是咖啡壶里面的渗滤结构，里面的咖啡渣可以抽象为一种二维的蜂窝状结构。可这又和分形有什么关系呢？

渗滤结构和二维蜂窝

原来，咖啡从咖啡渣里的渗透是随机的，就像蜂窝之间有着随机开关的阀门一样。这样的模型被数学家汉默斯莱称之为“逾渗模型”，逾渗模型又分座逾渗（阀门在顶点处）、键逾渗（阀门在通道处）和更复杂的座-键逾渗。可以试想，阀门的随机开关会影响到咖啡流出的速率，而当阀门关闭的数量足够多时，咖啡就无法流出，这就发生了本质的变化。通过对阀门开打率做一些具体的分析，可以发现其具有统计上的分形性质。逾渗模型是一类重要的计算机分形模型，在处理二级相变时有着重要的应用。例如研究多孔介质中流体的流动，螺旋星系中恒星的随机形成，核物质中夸克禁闭-非禁闭转变，甚至可以研究社会学现象。

不冷不热的知识：布朗运动也是无规分形（想不到吧）

正因为分形的广泛存在，这门学科从创始就充满了活力。可以预见随着科技的发展，分形以及相关的科学有着广阔的前景。

参考文献：

赵凯华 罗蔚茵. 新概念物理·热学[M]. 第二版. 高等教育出版社, 2005.

杨展如. 分形物理学[M]. 第一版. 上海科技教育出版社, 1996.

3blue1brown. (2017, March 6). 【官方双语】分形并不一定自相似. https://www.bilibili.com/video/BV1wx411C7WT?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=0586a74344b9f4e7fbc42f8a1d1bb5fc

作者 | 中国科学院大学 1902 花祝同

编辑：荔枝果冻

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