如何优雅的称量地球的质量

中科院物理所 2023-01-01

The following article is from 力学科普 Author 雨林

生活中，如果我们想要称量自己或者一个物体的质量，用天平或电子秤就能够知道，那么想要知道地球的质量该怎么办？地球可不能放在秤上称啊！就算阿基米德曾经说过，给我一个支点，我就能撬起整个地球。可他也没有办法称出地球的质量。古往今来，许许多多的力学家、地学家和天文物理学家们都在想办法得出地球的质量。那么，咱们今天就来唠一唠地球质量那点事。

给我一个支点，我就能撬起整个地球

1687年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，这在科学史上具有里程碑式的意义。在这本书中，牛顿总结和发展了他和之前许多科学家的研究成果，其中就包含了万有引力定律，对于万有引力定律，牛顿是这样说的：“对于一切物体存在着一种引力，它正比于各物体所包含的质量。在两个相互吸引的球体内，如果到球心相等的距离处的物质是相似的，则一个球相对于另一个球的重量反比于两球的距离的平方。”

万有引力定律的确立，成为天文学研究的划时代的事件。之前，天文学研究的主导工具是几何学，而之后天文学研究进入以力学为主导的时代。后来，确定彗星的轨迹和回归周期、海王星和冥王星的发现、小行星的发现和定位等等重要天文学成就都是在以力学为指引下得到的，而其中起核心作用的理论就是万有引力定律。用公式表示为：

其中其中M、m 分别是两个物体的质量；r 是两物体间的距离，而 G 是一个常数，称为万有引力常数，F 为两物体之间的作用力。这里还有一个很重要的问题没有解决，这就是万有引力常数 G 还是未知的。英国科学家亨利·卡文迪许巧妙地利用实验，利用牛顿的万有引力定律，成为了第一个优雅准确测出地球质量的人。

不过两个普通大小的物体之间，引力是非常非常小的，通常根本察觉不到，距离仅1/4英寸的两个直径为1英尺的铅球，仅靠它们之间的引力，在一个月内也走不到一起。这样微弱的引力，在室内实验是很难测量的。可以想象卡老师测定引力大小和万有引力常量 G 的值是多么困难。不过卡老师自有他的妙招，就是利用扭秤实验。让我们来看看他是怎么优雅地设计实验，并巧妙地解决这一问题的吧！他用的实验仪器图和简图如下图所示：

现在我们来描述卡文迪许的实验。图中的悬线是镀银铜丝，40英寸长。悬线下面水平悬吊一根轻质的木棒，木棒长度2d为6英尺，木棒两端各固定一个直径2英寸(重1.61磅)的铅球，它们的质量记为m。而用来吸引这两个球的是两个直径为12英寸(重348磅)的大铅球，它们的质量记为M。大球和小球之间的距离 b 大约为9英寸。整个装置是对称的。

我们来计算一个小铅球 m 所受的垂直于木棒的力，首先，根据万有引力定律，它受最近的大铅球 M 的引力是：

它还要受对称的另外一个大铅球M' 的引力，因为那个大铅球距离它是

所以它受到的引力是：

但是，这个力的指向是与木棒斜交的。由于M'm 连线与木棒mm' 夹角的正弦能够直接得到，即，因此在木棒垂直方向上的投影应当是：

由于 M' 对 m 在木棒垂直方向上作用的分力，与 M 对m 的引力是方向相反的，所以上面这两个力之差就是 m 在木棒垂直方向的受力

记

考虑悬线的扭转刚度为 K ，即悬线下端单位转角所对应的悬线下端的力矩。设转角为 θ ，木棒两端的两个球所受到的力对悬线下端O点的力矩为2Fd。所以在平衡的条件下，应当有：

上式中的K、d 等都是已知的，如果能够测量出平衡时候的和就能够定出万有引力常数G。然后去计算地球的质量就很容易了。不过，在改变两个大球 M 的位置时，系统并不马上就能够平衡，而是要经过相当长时间的震荡，来回摆动，才能逐渐趋于静止。这个时间会很长，有时需要等待个把钟头。于是卡文迪许就想办法记下顺序摆动幅度最大处的角度，然后由它们的平均得到预期的平衡点的转角。具体说，把第一个和第三个摆动的最大角取平均，然后再与第二个摆幅的最大角平均，结果就大致是最后平衡时的转角。

我们又知道，根据万有引力定律自由落体的加速度：

因此可以得到：

代入 * 式可以得到：

那么就有：

这样就巧妙地得到了地球的质量。

通过实验，卡文迪许估计出地球的质量为5.965×1024kg，大概是60万亿亿吨，和现有的公认值5.972×1024kg相当接近。实验设计得如此巧妙，以至于实验精度在之后多年都无人超越。他的扭秤实验至今仍然是测量万有引力常数的主要方法。

卡文迪许

卡文迪许实验的严谨之处在于，他用密闭的实验装置成功屏蔽了外界因素对测量结果的干扰，例如空气流动等；还用悬线上的镜子成功地放大了引力所带来的偏转，减少了读数误差；另外，为了克服周期性误差，例如温度的影响，卡文迪许测量地球的实验持续了好几年，从而有效降低了温度和扭秤周期性摆动对观察误差的影响。了解地球的质量之后，就能很容易地根据万有引力定律计算出月球和太阳的质量，进而计算出太阳系其他行星和天体的质量，因此卡文迪许实验意义的重要性是不言而喻的，他的这个扭秤实验也被誉为了最美物理实验的第六名。

卡文迪许的科学家小故事

许多人说，卡文迪许是18世纪英国有学问人中最富有的人，有钱人中最有学问的人。卡文迪许很有修养，但是没有英国的那种绅士派头。他不修边幅，几乎没有一件衣服是不掉扣子的；他不好交际，不善言谈，终生未婚，过着奇特的隐居生活。卡文迪许为了搞科学研究，把客厅改作实验室，在卧室的床边放着许多观察仪器，以便随时观察天象。他把钱大部分都用在购置科学仪器和图书上。他积聚了一批很有用的图书，除自己使用外，还慷慨地供其他学者使用。他也十分珍惜自己的藏书，整理得井井有条。无论是别人向他借阅，还是自己用书，都要严格办理登记手续，书从哪儿取下看完后必须归还原处。尽管家财万贯，他的生活却非常俭朴。他身上穿的，永远是几套过时陈旧的绅士服。钱的概念，在卡文迪许的头脑中是很淡薄的。他从祖上接受了大笔遗产，成为百万富翁，不过他一点也不吝啬。有一次，他的一个仆人因病生活困难，向他借钱，他毫不犹豫地开了一张一万英镑的支票，还问够不够用。卡文迪许可算是一位活到老、干到老的学者，直到79岁高龄、逝世前夜还在做实验。

人们为纪念这位伟大的科学家，特意为他树立了纪念碑。后来，他的后代亲属德文郡八世公爵S.C.卡文迪许将自己的一笔财产捐赠剑桥大学，并于1871年建成了实验室。它最初是以H.卡文迪许命名的物理系教学实验室，后来实验室扩大为包括整个物理系在内的科研与教育中心，并以整个卡文迪许家族命名。该中心注重独立的、系统的、集团性的开拓性实验和理论探索，其中关键性设备都提倡自制。这个实验室曾经对物理科学的进步作出了巨大的贡献。近百年来卡文迪许实验室培养出的诺贝尔奖金获得者已达26人。麦克斯韦、瑞利、J.J.汤姆逊、卢瑟福等先后主持过该实验室。

END

（文章图片源自网络，仅供科普参考）

参考文献

1武际可.称量地球的人——卡文迪许的万有引力实验[J].物理教学,2013,35(02):78-80+35.

2吴承埙.称量地球质量的人:卡文迪什及万有引力常量的测定——“最美丽”的十大物理实验之二[J].物理通报,2003(05):39-41.

3https://www.zhihu.com/question/37617712.

4http://oppo.yidianzixun.com/article/0T1ECU00.

5https://baike.baidu.com/item/卡文迪许/3732425?fr=aladdin#6.

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