三体开播前，帮三体人找找稳定解
12月3号，也就是今天，国产科幻动画《三体》本应该要开播。可惜好事多磨，昨天传来了动画暂缓播出的消息。不过，作为《三体》粉丝，我觉得是时候写点什么纪念一下科幻史上这辉煌灿烂的一笔。
遥想四年前我读完《三体》的那个夏天，那时我还是头发茂密的物理系大一本科生。我第一次感受到科幻不仅能对技术做出展望，还能引发对外星文明、宇宙社会、甚至回归到人性自身的探讨。这次我们先不聊太空电梯、超强度纳米线、智子、引力波通讯、费米悖论、降维打击等天马行空的东西（也许播出后结合剧情一起写写），就先聊聊《三体》的基础背景设定，也就是在三星系统。
1 三星系统和混沌
《三体》假设在距离地球4.3光年的半人马座三星系统中，存在一种外星文明。现实中，这个三星系统是真实存在的。目前的观测结果表明，半人马座α星是质量为的黄绿色主序星，表面温度；半人马座β星是的橙色主序星，表面温度；比邻星是的红矮星，表面温度，它距离前两颗恒星有0.2光年，相当于太阳到奥尔特云的距离。所以目前的状态是，比邻星远远地望着α和β缠缠绵绵。
2016年，人们发现比邻星具有一个位于宜居带的行星——Proxima Centauri b。它距离比邻星0.05个天文单位，质量至少为地球的1.07倍，半径约为地球的1.3倍，公转周期11.2个地球日。据估算，它的平均表面温度为-39℃。如果大气中存在一些温室气体，还是有可能存在碳基生命的。
但我得吐槽一句，半人马座三星系统位于南半球天区，赤纬61°~63°S，而红岸基地位于43°N以北的大兴安岭，所以这三颗星全天都在红岸基地的地平线之下。只有27°N以南的华南地区，才有可能直接收到三体文明的信号。
说回正题，因为这三颗恒星目前可以看成一颗小红星远远地绕着双星系统转，所以万幸在接下来的百万年间，它们的轨道都比较稳定。
但是！别看刚刚的示意图很有序，但这很可能就像天气预报那样不靠谱。而且，模拟时也会出现这种稳定之下暗流汹涌的结果。
原著中，三体的一轮文明设计了人阵列计算机来计算运行轨迹，结果计算出恒纪元后没几天就变成了乱纪元，最终导致了这轮文明的覆灭。我随手跑了个程序，感觉当时的轨迹应该是类似这样子的。
这里借用Zzzyt205做的更漂亮的三体模拟视频。虽然计算机做数值计算会存在精度问题，不等于实际发生的情况，但这个模拟结果足够说明三体星系多不适合生存了。
比如50秒左右，行星离三颗恒星都很近，此时三日凌空，行星变成炼狱。1分钟以后，行星不断远离三颗恒星，那就会出现漫长的冰期。又比如在第29秒和38秒，行星从一颗恒星转移到另一颗恒星，如果轨道高度低于洛希极限，那就会出现大撕裂。
那么，有没有可能把它们的轨道精确地写成解析式呢？早在牛顿时代，人们就发现两个物体在引力作用下的运动可以找到解析解，也就是用精确的数学表达式写出这两个物体的轨迹。这件事并不难，我们经常能在高中物理题里见到弱化版的双星模型。如果你有志于做物理研究的话，这类弱化成正圆轨道的题应该是十拿十稳的送分题。
但是当问题变成三个物体时，别说高中生，就是一流数理学家，都束手无策。1890年，法国数学家庞加莱发表论文，说明对于三体系统而言，只要系统的初始状态发生一点点改变，就会对后续的运动产生极大的影响。1961年，美国气象学家洛伦茨在研究气象预报时，也发现稍微改变一点输入数据，预测结果就会大相径庭。11年后，他在美国科学发展学会第139次会议上提出著名的蝴蝶效应，“巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，就可能在得克萨斯州掀起一场龙卷风”。由此，人们正式对混沌学科开展系统性的研究，三体问题也成了一个世界公认的难题。我们再重申一遍问题：三个物体在平方反比引力的作用下能否找到它们轨迹的解析通解？
目前的结论是不能，代数上只能用无限多的级数去逼近，数值上也只能不断地迭代做有限差分求解。可以说，三体作为一个混沌系统，除了质心是稳定的以外，再也不能找出一点秩序了。
2 稳定的特解
其实，三体问题也可以有稳定的周期解。最有代表性的就是欧拉-拉格朗日族、8字族和布鲁克-赫农族这三族(family)解。
不过直到十年前，人们也就只找到了这三族解。注意这里的用词，是三族解，不是三个解。
2013年，塞尔维亚贝尔格莱德物理研究所[7]的MilovanŠuvakov和VeljkoDmitrašinović，利用计算机，成功地找出了13族新的三体问题的周期性特殊解。他们使用的方法，是先从一个已知的周期解出发，然后在计算机模拟中不断调整系统内部的参数，改变初始条件，直到发现新的、稳定的三体运动模式。2015年，AnaHudomal用同样的方法新发现了14族解。
2017年，上海交通大学的廖世俊教授[8]利用天河二号超级计算机，新发现了669个周期解。从这里开始解的发现就不再按族算了，而是按个。比如这个扭曲的8字形轨道和糖果轨道。
2018年，他们又新发现1349个解。2021年，他们又基于机器学习搞出了135445个解，而且称数值精度比普朗克尺度还小……果然人算还是不如超算啊。感兴趣的读者可以去参考资料[8]看看其他轨道。
3 拉格朗日点
如果三体系统中，有一个天体的质量小到相对于另外两个天体可以忽略不计，那么对于这个小质量天体，就存在五个位置，可以让系统稳定地做周期性转动。这就是刚刚提到的欧拉-拉格朗日族中的一种情况，这五个点就是拉格朗日点。下面的推导非常优美，推荐有高一基础的读者看看，不感兴趣的读者可以直接跳到#晕轮轨道小节。
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在前面的假设中，第三个物体对另外两个物体的引力可以忽略，所以我们先求解相距为的和的两体运动。
解得
然后再在和之间放上，要求它能在万有引力的作用下一起绕质心公转
这是个关于的五次方程，没有解析的求根公式。所以我们需要上传统艺能——小量近似，。再把和代入，就会发现关于的二次项也会消掉，只剩下一个可以轻松解出的三次项
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和类似，列出向心运动方程
做传统艺能，，解得
在这种小量近似下，非常优美。
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这次我们选取的参考点不在地球，而是在相对于的对侧
做传统艺能，，，解得
#和
这部分是我觉得拉格朗日最牛的地方。先想象在可以构成等边三角形的地方放置一个，然后我们反过来证明，和在这个地方产生的引力刚好能为提供向心力。
首先是证明合力方向指向公转中心O。由于，又因为，所以力合成的平行四边形和平行四边形CDOE是相似的，这样就证明了合力指向O点。
接着是证明合力大小刚好提供向心力。你当然可以套余弦公式把合力的大小和的长度算出来，来验证它们是符合圆周运动的运动方程。但更优雅的方式是，验证它们所受到的引力加速度总与公转半径成正比。第一个等号已经成立，而，其中、分别是、的单位矢量。代入第一个等号，。你会发现，用矢量的语言不仅说明了大小关系，还再一次验证了合力方向指向O点。
再仔细想想，上述利用矢量关系的推导过程是否绝对依赖于和这个假设呢？你不妨试试把系统的公转中心放在三者的质心上，并重新考虑对另外两个物体的引力，会发现上述关系依然成立，之后总可以求出一个角速度，使得三者一起绕着质心公转。所以对于任意三体系统，这种等边三角形的圆周运动模式都是成立的。
木星的轨道上存在两群小行星，统称为特洛伊群，其中运行在木星“前方”的为“希腊群”，运行在木星“后方”的为“纯特洛伊群”。这两群小行星所处的位置，正是拉格朗日点和。上图中紫色的部分是希尔达小行星群，它们的三角形轨道与木星形成2:3的轨道共振。希尔达小行星的远日点可能是、、这三个拉格朗日点，当它们连续绕太阳旋转三圈，会相继通过这三个点。
最后，恭喜你看完优美推导！再复习一遍五个拉格朗日点和相应的势能面，因为有意思的部分马上要来了。
#晕轮轨道
拉格朗日点理论上只是一个没有大小的点，但它对于航天探测有重大意义，因为航天器可以稳定地悬停在它周围的晕轮轨道上。1978年，人们将国际彗星探测器发往日地点，开启了对拉格朗日点的第一次应用。尽管它在2014年9月16日失联，但在这36年1个月3天中，它都恪尽职守地保持在点附近的晕轮轨道上。
你可能会好奇，点虽然在切向上看是势能极小点，但在径向上是势能极大点。也就是说，只要在径向有一点点偏差，就应该会万劫不复地坠入深渊。但上节的示意图考虑的是引力势+随日地系统同步公转的等效离心势，实际的运动轨迹并不是严格地一同公转。这就为晕轮轨道的存在提供了空间。比如，1995年发射的太阳和太阳圈探测器(SOHO)，它的轨道俯视图就长这样：
日地系统的点能在相对固定的位置避开部分太阳辐射，有利于天文探测，所以詹姆斯·韦布望远镜就选择在这点附近的晕轮轨道。
再想象一下，如果我们从日地系统切换到地月系统，那么地月系统的点就会是对月背而言极佳的观测点。这里需要补充一个背景知识，月亮因为潮汐锁定，它的公转周期和自转周期已经同步了，也就是说，它只有一个面固定朝向地球。
例如鹊桥号通信中继卫星就放置在地月系统的拉格朗日点附近，为嫦娥四号在月背软着陆提供稳定的地月通讯信号转播服务。具体地说，鹊桥号在绕点的晕轮轨道上，随地月系统一起做周期运动。这样不仅能实现在月背上空的悬停，还能最大程度地节省轨道调整的燃料。
到这里，我们讲了三体问题作为混沌体系在数学上没有解析通解，但存在一些稳定的特殊解，着重介绍了其中的五个拉格朗日点及其在航天上的应用。希望三体人的智子在扫描这篇文章时，能收获一些延长恒纪元的灵感，愿三体文明和地球文明和谐共存。
参考资料：
[1] 既然三体运动非常不稳定，那太阳系为什么能稳定存在？- 知乎@UFO
[2] 拉格朗日点（平动点）的近似推导 - 知乎@Dr.Space
[3] 三体运动模拟 含行星修正版 - bilibili@Zzzyt205
[5] Alpha Centauri. What Does the Closest Stellar System Conceal? - youtube@Kosmo
编辑：牧羊
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