比物理学不存在更恐怖的，是圆周率|Happy Pi Day
《三体》中，杨冬在自杀前，恐惧地自问：
“大自然，真是自然的吗？”
你，觉得呢？
再思考一遍
这个问题
你
恐惧了吗
...
1
举派求婚日
这是我见过，最独特的求婚。
今天，3月14日。
数学系某男生，突然单膝跪地，深情款款地望向女友，从背后掏出了...
...苹果派？
我仔细看了看，发现这份苹果派，是一个很完美的三角形切片，而它的俯视图，和下面这个式子的轮廓完美重合：
我恍然大悟，原来，他的求婚是这个含义。
如果你对这个式子有些陌生，那我们不妨把这份切片复位：
现在，它的外形是不是很像一个圆？
假设烘焙的是迷你派，直径只有1厘米，那它的周长，就会成为今日的最大主角：
π。
还记得小时候，数学老师要求你背诵的圆周率口诀吗？
3.141592653..
就在今天。
3.14，国际圆周率日。
你即将意识到：
这串数字背后，
囊括了，
整个宇宙。
2
专治各种不服
记忆中，高考临近的五月，大家都变得躁动。
某天，数学老师在黑板上写下这个式子：
“强调过多少次了，大题要有完整的计算过程，结果呢？喜欢只写答案是吧？行，谁能告诉我，这个式子的答案是多少？”
教室，鸦雀无声。
老师用讲尺敲了敲黑板，“连π都认不出来，你们有什么好嘚瑟的？”
后来，在大学微积分课上，我才知道，这个是约翰·沃利斯在1655年发现的沃利斯乘积，是欧洲第二个发现的无穷项圆周率公式：
沃利斯乘积简易证明过程
难怪当年我们都答不上来了！
降维打击，赤裸裸的降维打击啊。
不过，我觉得，数学老师的这一招，值得学习！
下次，你想试探对方深浅的时候，还可以问问下面这个式子的值是多少：
如果对方沉默了，你就语重心长地说：“连π都不认识，你还是多读点书吧。”
毕竟，这是π的莱布尼茨公式，只要项次足够多，总和一定会慢慢接近π。
虽然，这个数列的收敛速度很慢，要到500,000项之后，才能精确到π的第五小数...
但不管怎么说，π，专治各种不服！
3
无限不循环
让我们来重温一道小学数学题：
请移动一根火柴棒，使得下方等式，变成另一个近似等式。
如果图片无法加载，就猛戳几下空白处
点击空白查看答案
题干中，之所以要强调“近似等式”，是因为π是无理数，并不能表示成两个整数之比的形式，虽然我们常用形如22/7的分数去近似表示π，但实际上π是无限不循环小数。
不过，每一个无理数都可以用连续分数的形式来表示，π也不例外，比如:
在任意一点截断，都能得到一个π的近似值，如果我在第二行截断，那就能得到22/7；如果我在第四行截断，就能得到355/113。
之所以指出这两个值，是因为它们作为圆周率的近似值，在历史上曾大放异彩。
公元前250年，阿基米德在他的论文《圆的度量》中提出：
他使用的，是割圆法：
割圆法示意图，来源[1]
圆的周长，介于它的外切多边形和内接多边形之间，当我们不断增加多边形的边数时，可以不断缩小之间的周长差，于是通过计算多边形的周长，就能得到具有一定精度的π值上下限。
而在古代中国，我们对圆周率的探索，也源来已久。
在我国最古老的天文学和数学著作《周髀算经》 中，有这样一句话：“数之法出于圆方”，三国时期的数学家赵爽对其注释为：“圆径一而周三”，意思是直径为1的圆，周长大约是3。
可见，在当时，我们使用的圆周率粗估值是3。
公元462年，祖冲之在《缀术》中记载了他计算得出的圆周率近似值355/113，其展开成小数的值是3.1415929203...
祖冲之
在之后近800年的时间内，这都是准确度最高的π估算值。
其实，圆周率的估算，在古代有着很直接的现实意义。
例如，当时不论是普通百姓，还是皇室贵族，都十分关心着一件事：什么时候会降雨、降雨量如何。
为此，朝廷官员需要修订历法，里面就涉及了圆周计算，如果π的近似值误差较大，就不能准确预知一年四季，最后直接影响整个国家的民生大计。
而355/113的精确程度，可以举例来具体感受一下：
假设一个圆的直径是10000米，那用它计算出的圆周长与真值相比，仅仅多了不到3毫米！
因此，祖冲之的这一成就，不论是对当时的黎民百姓，还是对后世的研究进展，都可谓是意义重大。
4
随机抛针得π
既然今天是国际π日，我们不妨一边吃派，一边玩个小游戏。
在纸上画满相距4厘米的平行线，找来n根2厘米长的牙签，随机地抛在纸上，最后统计牙签与平行线相交的次数k，计算n/k的值。
随机抛掷
统计后发现，n/k的值与圆周率π十分接近！
这，其实就是著名的蒲丰实验。
假设有一组距离为a的平行线，投掷的牙签长为l，牙签与直线相交的概率，可以这样简单计算：
简易示意图
假设牙签AD与直线MN相交，B是牙签的中点，牙签与直线的夹角为θ，B点到直线MN的垂直距离为s，则需要满足s≤lsinθ/2，牙签才会和直线相交。
牙签与直线MN相交的角度θ变化范围是0~π，s的变化范围是0~a/2，简单画出示意图如下：
示意图中的曲线是s= lsinθ/2，则阴影部分代表着牙签与直线相交的情况，这个矩形面积代表着投掷总次数，所以相交概率可以这样计算：
在上述小游戏中，我们选择了参数a=2l，因此，正好得到n/k=π。
理论上而言，随着投掷的次数增加，就可以得到越来越准确的π值，历史上也有不少人曾经进行过这个实验：
部分历史实验数据表格，来源[2]
如果仔细观察，就可以发现，π值的精确度似乎并不和投掷次数成正比。
鲁道夫投掷了5000次，拉兹里尼只投掷了3408次，但得到的π值，却比鲁道夫精确很多。
对此，有不少学者曾经怀疑拉兹里尼的数据造假。
但实际上，这个投掷实验还涉及到最优停止问题：究竟投到多少次停止，才能获得较优解。
撇开这些不论，蒲丰实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，首次使用了随机实验处理确定性的数学问题，这不仅是蒙特卡洛方法的雏形，也促进了积分几何学的诞生。
可别忘了，这一切的开端，都源于我们想要求出π值。
冥冥之中，似乎有什么在牵引着我们，在不断探索圆周率的过程中，我们触碰到了，更广袤无垠的世界。
5
超算热身操
我们对圆周率的探索，跨越了几千年，从未停止。当我们拨动时针，快进到这个时代，圆周率的故事，有了新的参与者：
超级计算机。
2021 年8月，瑞士的科学家刷新世界纪录，使用超级计算机，将圆周率计算到了小数点后的 62.8 万亿位，耗时108天零9小时。
没想到，仅仅过了半年多的时间，纪录又被打破了！
2022 年 3 月， Google Cloud将小数点后的 100 万亿位数都给计算了出来，共计用了不到 158 天的时间，而第100万亿位，恰好是0。
圆周率小数点后100万亿位的最后100位数，来源[3]
事实上，如果从实际测量的角度而言，圆周率π值精确到39位时，就可以将可观测宇宙的圆周计算，精确到一个原子大小，这已经能够满足目前绝大多数宇宙学的计算需求了。
既然如此，计算上万亿的小数点位数，究竟有什么意义？
你有没有想过，超算发展如此快速，但我们要用什么方法，去检验超算的可靠性、精确度和运算速度等一系列指标？
这时候，就轮到π登场了！
用超级计算机去计算多位π值，是目前用于检验计算机性能和改善计算方法的常用方法。
就像我们不断刷新登顶珠穆朗玛峰的纪录一样，作为一台超级计算机，π值，则是它们需要攀登的高峰。
简单说来，首先要将π值计算程序用于一台能正常工作的超算上，进行多次实验，确认程序没有问题；
接着将这程序用于测试机，如果测试机在计算圆周率的时候出错了，就说明这台超算的硬件是有问题的，需要进一步检查调整。
这样看来，无穷无尽的圆周率，大概是超级计算机的热身操。
当某台超级计算机刷新π值的世界纪录后，热身结束，接下来，就是在其他各个研究领域，一展芳华。
6
宇宙密码
《三体》中，杨冬在自杀前问：“大自然真是自然的吗？”
而卡尔·萨根，则在小说《接触未来》中暗示，宇宙的创造者，在π的数字中，暗藏了一则信息。
所以，对于很多π迷而言，大自然可能并不自然，而终极密码，也许就藏在π中。
例如，质子和电子的质量比大约是1836，恰好等于6π5的取整值。
等等，这真的只是巧合吗？
基本粒子的内禀特性，会不会与宇宙中的某种几何特征，息息相关？
对于这个说法，至今没有什么理论依据，而且大概率很有可能，就只是巧合...
相比之下，更加有意思的一点是，π2的值和重力加速度g的数值十分接近。
这可不是巧合！这都和长度单位m的定义有关。
1660年,伦敦皇家学会提出，在地球表面摆长约一米的单摆，一次摆动的时间大约是一秒。
也就是说，对于长度m的最初定义是：一次摆动时间为 1s 的单摆的长度 。
我们来观察一下单摆的周期公式：
由于T描述的是完成一次往返摆动的时间，所以我们代入T=2s，忽略单位，简单变形可以得到：
由于我们定义了这时候的单摆长度L是1m，就可以得到，π2和g的数值相等！
也就是说，在最开始的时候，π2=g。
后来，我们对单位长度m的定义不断调整，导致数值有了变化，但差距并不大，所以现在的π2也就和重力加速度g的数值十分接近，但并不完全相等了。
除此之外，π还出现在各色各样的物理世界中：
精细结构常数
海森堡不确定性原理
麦克斯韦速率分布函数
事实上，不仅仅是各种物理公式中有π，我们的日常生活，也和圆周率息息相关。
《疑犯追踪》中，就有一段很耐人寻味的片段，值得我们细细感悟。
现在，吃着3.14元的派。
再来仔细回味一下，π的魔力。
它是无理数，无限不循环；
它还是超越数，不是任何一个有理数系数多项式的根。
它包含着，宇宙中所有无限的可能。
所以，举派求婚的含义是..
《以π为名》
“
喜欢你，
不知从何而起，
超越一切，
无穷无尽，
奔向你。
”
原来如此！
愣着干嘛，怎么还在吃派！
说你呢！
还不抓紧时间，举派去表白！
哦，对啦！
记得悄悄讨论一下：
大自然，真是自然的吗？
参考文献：
[1]维基百科：圆周率
[2]《π的密码》
[3]Google Cloud Blog
编辑：穆勒家保姆
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