六岁女孩打破世界纪录，魔方的数学解法到底是什么？| No.375

Original Frions 中科院物理所 2023-10-15

收录于合集 #问答 353个

你说人心
就像多变的魔方
眼眶里又泛起波浪

Q1

看到有一种说法是病毒不被认定为生命，是真的吗？

by 匿名

答：
现阶段生物学领域主流观点是，病毒不属于生命体。
目前认为细胞是组成生命体的最小单元，因为细胞是在适宜的条件下可以独立生存的最小单元，并可以诱导其分裂，扩增遗传物质，完成生命的关键--增殖。
病毒虽然与细胞一样带有特异排列的核酸作为遗传物质，但是病毒的生存和增殖过程都依赖于宿主细胞，没有一种病毒可以独立完成这一过程，并且其基因组极其简单。因此有观点认为病毒来源于细胞，是细胞中可以自我复制的bug。
当然也有一些不太好界定的特例，举两个例子，衣原体作为原核生物，但其细胞组成极为简单，无法摆脱宿主细胞独立生存。而巨病毒作为病毒，其基因组却相当复杂。
by 某大型裸猿
Q.E.D.

Q2

2048这个小游戏理论上讲，最大能合出多少数字呢？

by 匿名

答：
施工进度镇楼。
游戏中弹出的数字有一定随机性。我们这里假设弹出的数字足够友好，永远弹出我们需要的数字。
以4×4的游戏为例，一种“比较极限”的数字排法是从2¹⁵开始蛇形逐阶减小，一直到第15个格子里是2。
类似这种蛇形
接下来的最后一个空格弹出2，然后一路贪吃蛇式地合并出2¹⁶（也就是131072）。再经过不懈施工搞出15块蛇形排列，在最后一个空格弹出4，于是可以合并出2¹⁷……以此类推，假设能自动弹出的最大数字是2ᵐ，而一共有n个空格，那么理论上能合成的最大数字就是。
写完答案回头一看，原来我已经合成出了2¹⁵，我玩的版本最多能弹出8，这么看我还有3阶就神功大成了。冲！
by 井筠
Q.E.D.

Q3

魔方的解法是如何用数学推出来的？

by 匿名

答：
利用的数学是群论，求解魔方的过程是一个“求逆”运算，有点类似于减法和除法，以及矩阵求逆。它之所以困难，在于这个群太庞大了，并且求逆运算往往是困难的。此处就一些基本原理给出简要介绍。
什么是群？设集合G中定义有乘法运算，如果G对这种运算满足下面四个条件，则称G构成群
封闭性, 对任意,
结合律, ,
存在左恒元, , ,
存在左逆元, , , 使
我们容易发现，所有可能的魔方操作构成一个集合，规定乘法规则为进行一个操作后再进行另一个操作，则可验证该集合构成一个群，这就是魔方群。容易理解所有可能的魔方构型和魔方操作是一一对应的，且所有魔方构型可以按照上述乘法规则构成群。我们要做的，就是对给定的(打乱的)魔方，找到它的逆元。魔方有六个基本操作，分别代表上(Up)、下(Down)、左(Left)、右(Right)、前(Front)、后(Back)六个面顺时针转动，任何魔方操作都可以由这六个操作通过乘法规则生成。
人们常选择特定的操作组合作为“积木”，运用它们构建出想要的转动操作，进而得到复原整个魔方的解法，包括常见的从底向上的方法。对易和共轭是常见的技术。任意元素的对易定义为；元素的共轭定义为，其中为群中任意元素。
特别是利用元素的共轭减少转动魔方时对不想移动的块的影响。例如，下图中如果执行对易，则影响的是橙色高亮的7个块，但如果执行它的共轭，那么绿色圆点标记的两个块就不会受影响。
【注：本回答中形如的操作序列，位于左侧的操作先执行】
参考资料：
马中骐. 物理学中的群论第二版[M]. 北京:科学出版社,2006.
MITOPENCOURSEWARE
by 利有攸往
Q.E.D.

Q4

温度是怎么影响原子核束缚电子的能力的？

by silence

答：
物理上在不考虑亚原子结构的时候，计算原子的平动动能，其中玻耳兹曼常数，这就把温度和能量联系了起来。这样，有时候物理学家也会用温度来表达能量。电子伏特与开尔文的换算关系是1eV ≈ 11600K。
在孤立原子中，原子核与电子结合的能量一般在10eV左右，按上面的换算大约是11万开尔文。比如氢原子的第一电离能为13.6eV。常见元素原子中第一电离能最低的是K，是4.3eV，换算成温度大约是50000K。这个温度大概就可以看作孤立原子中的电子仅靠热运动脱离原子核束缚时的温度。很显然，这个温度远大于室温，因此在通常环境下不需要考虑温度变化对原子核-电子束缚强度的影响。
在晶体中，大量原子规则排列，互相影响，形成所谓的强关联体系。物理学家发展了能带论在描述这种体系中的电子，被原子核束缚的电子形成价带，可以在不同原子间自由移动的电子形成导带。导带与价带之间的最小能量差被称作能隙。能隙一般较小，有时可达几电子伏，但很多材料的能隙都在毫电子伏量级，甚至零能隙的材料也很常见。毫电子伏的能隙对应几十到几百开尔文，正是实验室关心的温度区间。这时，温度就会显著影响电子的激发，实验上表现为电阻等电学性质随温度的变化在2-300K变化明显。
by 藏痴
Q.E.D.

Q5

我9岁的儿子经常在晚上九点左右看见月亮，他有一天问我：月亮是不是脱轨了？他的依据是每天的同一个时间月亮在天空中的位置是不同的，不仅方位不同，连远近也不同。我不知道怎么给儿子解释，麻烦物理所老师看看能不能用通俗的语言帮我回答这个问题，非常感谢。

by 大宇

答：
每天同一时间，月亮都会因为公转而改变相对于恒星背景的位置。你可以先这么粗略地想象：如果月亮不绕地球公转，那它应该大致在每天的同一时间出现（其实还是会变，因为地球也在绕太阳公转，四季星空都不一样）；但现在月亮每个朔望月绕地球公转一圈，每天相当于转1/30圈，要让月亮出现在同一视角，地球就得多自转1/30圈，也就是大约48分钟。你可以查查每天的月出时间表，基本上是每天会推后30~70分钟。
可以去timeanddate网站查询月相表 | 图源[1]
至于远近的不同，只是因为月球的公转轨道是一个椭圆，月球转到不同的经度位置自然就有不同的远近了。
参考资料：
北京的月出、月落和月相
by 牧羊
Q.E.D.

Q6

汽车的尾灯发出的红光是白光灯透射红色玻璃产生的，为何不能用红光灯替代？

by 匿名

答：
实际上，现在大多数车尾灯用的就是LED（发光二极管）灯直接产生的红光，而不是白光透过红色玻璃产生。
到这里可能有同学问，啊什么，LED灯还能直接产生红光？是的。实际上LED灯并不能直接产生白色的光。历史上首先出现了红色和绿色的发光二极管，直到中村修二等人发明了蓝色的二极管（后来凭此发明获得了诺贝尔物理学奖），并与红色和绿色混合，才产生了纯净明亮的白色。
因此，汽车尾灯直接使用红光二极管是很自然的事情，而不是通过白光灯透射红色玻璃产生红色光这个办法。
至于为什么用红色灯罩而不用透明灯罩，这个小编并没有找到可靠的资料。小编猜测这样的目的是起到同自行车尾部反光条类似的警示作用。
在夜晚前车辆未开启尾灯的情况下，后边的车辆灯光照射到前车尾灯并反射，仍然可以呈现较为醒目的红色，而透明灯罩则没有这个效果。
by 小范
Q.E.D.

Q7

流体星球的洛希极限怎么推导？

by 匿名

答：
这是一个很复杂的问题，刚体不用考虑星球的形变，它的洛希极限可以很轻松地用引潮力=球体的万有引力求得: 。但流体要考虑星球自身形状在引潮力下的变化，随着流体星球靠近主星，它会从圆圆的球成椭椭的橄榄球，这会使它更容易被拉扁撕裂，所以它的洛希极限也比刚体更大，为: 。
为了尽可能通俗易懂，我们这里牺牲一点严谨性，试着做一个简单粗略的推导。
蓝色是流体星球m1，它近似为一个椭球，旋转半径为re，旋转轴半径为rp；橙色是主星m2；dm是流体星球上我们要考虑的一个质量微元
主星的引力势和两个星球相互公转惯性离心势是[2]
式中的Pn是勒让德多项式，它是: 按径向展开所得的角向系数，这是对旋转对称的势做小量展开的经典数学手段，也是物理学家的传统艺能[doge]。上式中n=0的项是一个常数，对力没有贡献，n=1的项有: ，刚好和公转惯性离心势相互抵消，所以对引潮力有贡献的项是从n=2开始的: 。对这两个势求梯度后得到:
引潮力在地球上的分布
对于流体星球被撕裂的问题，我们只关心径向上的力，可以看出最大引潮力出现在θ=0或π的位置：
接下来考虑流体星球自身产生的引力势。假设它被拉成了一个椭球，我们就得学一学描述椭球的数学工具。椭球可以看成椭圆绕着一个轴旋转而得，旋转半径记为re，旋转轴半径记为rp，它们的相对差值定义为椭球的的扁率: ，椭球的平均半径是R定义为与它等体积的球的半径，在扁率不是很大的情况下可以近似为: 。经过这样定义后，椭球表面的方程也可以近似为：
进行亿些积分后，算出流体星球产生的引力势为：
第一项与球体的引力势相等，第二项描述了球体变椭后引力势的变化，这一项决定了流体洛希极限相比刚体大出来的部分。对它在径向方向求梯度得到椭球体对自身的引力：
在星球即将被撕裂的位置，引力恰好等于引潮力，联立(1)(2)(3)式，可以算出：
对于沿旋转轴拉长的椭球，re<rp，扁率是负的，所以方括号中的数比2大，这半定量地说明了流体的形变会导致洛希极限的增大。
这个计算用了很多小量近似，它依赖于椭球的扁率不大这个假设，所以只能作为一个粗略的结果。但它清晰地呈现了用引潮势和引力势的计算思路。文献[1]用更严格的最小势能法给出了流体星球被撕裂时偏心率的数值结果为0.88，换算成我们定义的扁率是-0.53，其实已经超出本计算适用的近似范围了。
参考资料：
于凤军.过客流体天体的洛希极限[J].大学物理,2018,37(08):8-12.DOI:10.16854/j.cnki.1000-0712.170625.
潮汐力为何能撕裂天体？
by 牧羊
Q.E.D.

Q8

流速快的地方压强下，为什么我对着一张纸吹气，纸张不向我的嘴靠近反而会被吹飞？

by 匿名

答：
流速快的地方压强小”是伯努利原理的一条推论。
伯努利原理是指定常不可压缩的无黏流体满足，其中p为流体压强，ρ是流体密度，C是常数。
很显然伯努利原理来自机械能守恒定律，在等高流动（h固定）的情况下，可以理解成流体微元在外力p的作用下加速获得了动能。这个外力是有方向的，也就是沿着流线（流体微元的运动方向，可以类比电场线）。在沿流线的方向，按离源由近到远压强逐渐降低，但一直大于零；垂直流线方向，按照伯努利原理，压强小于零。如果使用流场可视化等手段仿真，或者用水流模拟，就可以看到气/水流射出后，周围流体会沿着垂直流线的方向汇入，然后直到远处散开。
by 藏痴
Q.E.D.