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上好拓展课其实并不难，一位特级教师分享了他的宝贵经验
编辑 | 黄春霞
很多一线教师都知道数学拓展课的重要性，但是却不知道怎么上。小学数学拓展课就是对小学数学教材进行扩充、开拓、扩展、延伸、展开的课堂教学。它的学习素材源于教材、宽于教材、且又高于教材，并具有丰富性、多样性与很强的探究性。因此，我们不能简单地把它直接呈现给学生，让他们“读”懂；也不能简单地靠教师讲解与示范，把学生“讲”懂。
小学数学拓展课到底应该怎样“教”呢？根据自己研究小学数学拓展课的经验，我提出以下几点切实可行的教学策略。
问题意识是数学学习得以有效进行一个重要因素，没有问题学生也就没有进一步探究的欲望。在拓展课中，问题驱动探究任务，问题引发思考深度。因此拓展课教学首先要创设有效的情境，发展学生的问题意识，激发学生的探究需求。有效的情境必须具备趣味性、挑战性和思考性。
1.创设富有趣味性的情境
小学生喜欢趣味的故事，动态的图片，还有游戏。因此，拓展课的情境创设需符合学生心理，将探究的主题融入到趣味的故事中或者好玩的游戏中。
如《读“心数”》一课，课的开始我便和学生卖起关子，玩起了游戏：同学们，知道什么是读心术吗？你心里想好一个数，我就能把它猜出来。想不想试试看？接着呈现四张卡片（如图1），这里有四张卡片，每张卡片上都有哪些数？找一个你喜欢的数，不需要说出来，只要告诉我哪几张卡片有这个数，我就能猜出这个数。
以“读‘心数’”游戏导入，学生被深深地吸引、折服。师生互玩几次后，再同桌两个人玩，一人想数，一人猜数。从游戏互猜数到自制游戏卡片，一轮在数学王国里的探秘活动开始了，在游戏、操作中学生逐步感悟二进制。创设富有趣味性的情境能一下子吸引学生的眼球，使其快速投入学习。
2.创设富有挑战性的情境
小学生不仅对“好玩”的数学感兴趣，也对有“挑战性”的数学感兴趣。根据学生年龄特征，创设挑战性的情境，为学生创造经历“研究数学”的机会，同时也为他们创造表现自我、发展自我的机会，让他们在研究中找到自信，并形成“我能够而且应当学会数学地思考”的数学观。
如《硬币的滚动圈数》一课，当一个硬币不动，另一个硬币绕着它的外沿滚动一圈回到原位，这个硬币本身滚动了几圈？全班学生异口同声地说“1圈”，然而验证的结果却是“2圈”。和学生猜想完全不一致的结果，无形中为学生创设了富有挑战性的情境，激发了学生的学习兴趣与强烈的探究欲望。
3.创设富有思考性的情境
教学情境是为教学目标服务的，它的核心目标是引起学生的思考，提高学习活动的思维含量。因此，创设的问题情境须富有思考性，能为学生提供思考的空间，引发学生广泛的联想。
如《三角形的最多个数》一课，呈现问题：把一个1000边形的硬纸板，沿着直直的一条线剪一刀，将它分成了若干个图形，其中三角形最多有多少个？有的学生猜想最多只能剪1个三角形，有的猜想最多可能会有2个，有的认为最多可能会有3个……到底几个？怎么研究？在热闹过后引导学生静心思考，得出研究方法：先从最简单的多边形开始研究，然后慢慢地增加边数，发现三角形的最多个数（如图2）。这样的情境导入直奔主题，让学生带着问题去思考，简洁、有效。
小学数学拓展课的学习内容与教材相比，更具探索性与挑战性。因此，我们不能让学生被动地听老师讲解或示范，而要设计有层次的、适合学生的探究活动。探究活动前，教师需认真分析学习素材特征，以及学生的学情及认知特点，定位契合孩子思维发展的探究方式。课堂中引导学生自主探究，学会研究的方法，积极参与知识的形成过程，感悟数学思想方法，提升数学素养。
1.半扶半放型探究
有些拓展课学习素材具有一定难度，涉及一些未学知识或数学方法，学生探究起来有难度，这时就应该采用半扶半放型探究。半扶半放型探究意味着老师不能当“甩手掌柜”，在学习关键处需“扶”一下。教师要精心组织、策划教学活动，重点部分要把舵，小结部分要帮助归纳，有争议的地方需要阐明正确的观点。
如《老大哥分数》一课，比较老大哥分数4/5和3/4的大小。我放手让学生探究，结果出现了两种典型的错误。错例1用长方形表示出分数再比较（如图3），认为3/4与4/5空白部分都是1份，所以一样大。错例2用不同的图表示出分数再比较大小（如图4），结果发现不好比较。此时，我介入并“扶”一下学生：画图比较两个分数的大小时，首先要画完全一样的图，接着再对图形进行平均分并涂出相应的份数，最后比较大小。引导学生在辨析中理清了比较的前提与方法。
当出现“比涂色部分大小”与“比空白部分大小”两种方法时，组织学生比较，然后点拨：比涂色部分大小，可以直接得到4/5大；比空白部分大小（剪下空白部分重叠在一起，如图5），1/4>1/5，推理得到4/5大。前者直接比大小，后者通过推理比大小，都是好方法。
接着让学生比较多个老大哥分数的大小，很快就发现空白部分越来越小，涂色部分就越来越大，老大哥分数就越来越大。
整个探究过程步步为营，层层深入，适时在关键处点拨，让只学习了“分数的初步认识”的学生，不仅认识了老大哥分数，且掌握了真分数的性质，有效挖掘了学生的潜能，发展了数感。
2.开放型探究
还有一些拓展课学习素材基于教材的知识点，通过小组合作的方式即可探究学习，此类学习素材就采用开放型探究方式。在开放型探究中，虽然学生不需要“扶”着走路，但在关键处还需教师指一指方向。当学生探究进入“死角”且长时间出不来时，要引导“回头看”；当学生探究走到“十字路口”时，要引导“辨方向”；当学生探究路径不多时，要引导“另辟蹊径”。
教师需引导学生学会合作，有时还需让学有余力的学生离开座位帮助不会的学生共同完成探究任务。
如《画2m²的正方形》一课，呈现问题：面积是2cm²的正方形，你们会画吗？学生通过计算1.3×1.3=1.69、1.4×1.4=1.96、1.5×1.5=2.25、1.45×1.45=2.1025…结果找不到两个相同的数乘积为2，甚至有个别学生提出2m²的正方形不存在。就在学生的思考进入了“死角”时，我引导他们“回头看”：1.你会画哪些正方形？2.由边长想面积，画不出2cm²的正方形，能否直接从面积角度去思考呢？点拔后放手让学生自主探究，再汇报交流。
方法1：如图7.1，先画一个面积4cm²的正方形，然后分成4个同样的等腰直角三角形，用其中的2个拼成一个面积是2cm²的正方形。
方法2：如图7.2，先画一个面积4cm²的正方形，把各边的中点连起来，里面的正方形是大正方形的一半，面积是2cm²。
方法3：如图7.3，先画两个面积4cm²的正方形，然后各画两条对角线，当中就有一个面积是2cm²的正方形。
引导学生对这三种方法进行比较分析后再激发学生继续思考，于是学生思维被打开。
方法4：如图7.4，先画一个1cm²的正方形，再平均分成四份，接着再画同样的4份，得到一个面积2cm²的正方形。
方法5：如图7.5，先画2个1cm²的正方形，然后分成四个三角形，将上面的两个三角形移动下面来，拼成一个面积是2cm²的正方形。
方法6：如图7.6，先画一个1cm²的正方形，再用对角线作边长画一个正方形，它的面积就是2cm²。
肯定了学生的精彩想法后，引导学生继续思考，学生又蹦出新的想法。
方法7：如图7.7，直接画两条互相垂直的2cm线段，连线得到面积是2cm²的正方形。
在探究之后，我引导学生比较分析，总结方法：前三种方法都是由“大面积”想到“小面积”，第4与第6种方法都是由“小面积”想到“大面积”，第5种方法属于“等积变形”，第7种方法由对角线长度想到正方形的面积。通过比较分析，学生在反思中进一步理清解决问题的思路。
练习是课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节。小学数学拓展课也需要设计相应的练习，帮助学生进一步掌握知识，提升思维品质。不过，练习设计要充分考虑学生之间的差异，让不同的层次学生都有机会挑战，获得成功的体验。
如《涂色问题》一课，当学习了棱长为n的正方体涂色问题之后，我设计了基础性练习、拓展性练习及非常规性练习，帮助学生进一步巩固知识，深刻理解知识。
1.基础性练习
（1）将一个棱长为5cm的正方体表面涂色，然后切成棱长1cm的小正方体，请问三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体各有几块？
（2）将长5cm，宽4cm、高3cm的长方体表面涂色，然后切成棱长1cm的小正方体，请问三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体各有几块？
第（1）小题是正方体的涂色问题，与之前学习的内容相同；第（2）小题是长方体的涂色问题，涂色的小正方体块数的计算方法略有不同，因此，这样的基础性练习既能巩固知识，又能“举一反三”，培养思维的灵活性。
2.拓展性练习
如图8，将棱长4厘米的正方体5个面涂上颜色，然后切成棱长1cm的小正方体，请写出小正方体的涂色情况及相应的块数。
3.非常规性练习
将36块相同的小正方体拼成一个长方体，表面涂色，然后分开，则三面涂色的小正方体最多有多少块？最少有多少块？
此题一呈现，学生会脱口而出“最多有8块，最少也有8块”，因为三面涂色的小正方体在顶点处，且长方体、正方体都只有8个顶点。经点拨，学生继续思考想象、讨论交流，最终分别得到正确答案32块与0块（如图9）。
非常规性练习从表面上看似乎与一般习题没有区别，但是求解的途径与思维方式却完全不同。它能让学生在练习中“恍然大悟”，克服思维定势，促使学生学会更全面地思考问题。
当然，不是每一数学拓展课都要设计三个层次的练习，而应根据教学内容、教学时间与学情灵活确定。
数学建模是数学知识与数学应用的桥梁。研究和学习数学建模能帮助学生探索数学的应用，产生对数学的兴趣和应用数学的意识和能力。数学拓展课中模型的建构并非一蹴而就，它渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。因此，要引导学生在观察实验、比较分析、抽象概括等活动中不断反思，挖掘背后蕴涵的数学思想方法，帮助学生建立起数学模型，从而达到解决问题的目的。
如《有趣的分数加减法》一课，这是一节计算类拓展课，在教学中一般先让学生计算一些算式后，引导发现这些算式的共性，即算式特征（数学模型），然后寻找算式特征的原理（数学模型的解），再利用原理去验证或解释已发现的计算方法。因此，课始先让学生画图表示1/2+1/4,1/2+1/4+1/8,1/2+1/4+1/8+1/16（如图10），发现它们和都等于1减去最后一个分数单位；接着计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64等等。
再次探究1/3+1/6+1/12+1/24，学生通常会通过类比得到错误答案1-(1/24)=23/24，此时让学生画图验证并发现正确答案为1-(1/3)-(1/24)；接着再算1/5+1/10+1/20+1/40+1/80，1/7+1/14+1/28+1/56，最后总结算法（如图11）。
紧接着，引导学生建构生活模型，渗透数学文化：“一课的结束渗透数学文化“尺之棰，日取其半，万世不竭。”算式为1-(1/2)-(1/4)-(1/8)-(1/16)-(1/32)-…-（1/n），如果一直往下减，结果就越来越趋向0，也就到达0了。
再如《三角形的拼接》一课，这是一节几何类拓展课，在教学中一般让学生经历“猜想-验证-发现”的过程，体会方法多样性以及最优化，体验思维的深层次挖掘带来的快乐。课始，先呈现问题：10个三角形拼接，有14个连接点，有几条边？学生无从下手，引导从2个、3个三角形拼接开始研究（如图12）。
之后提出猜想：三角形个数-1=边数一点数；接着引导学生在5个、6个、7个，甚至更多个数的三角形拼接中验证，结果发现猜想是正确的；紧接着在n个三角形拼接的基础上，再增加一个三角形拼接，发现猜想还是正确的。在此基础上，探究“四边形的拼接”，发现同样的规律，以此类推到五边形、六边形拼接…，归纳总结“多边形个数-1=边数-点数”，最后解释原因，沟通联系，发现这些多边形拼接都可转化成三角形的拼接。
此课，让学生充分经历探究过程，在举例、猜想、验证等活动中渗透化归思想，建立模型并解决问题，初步感受数学归纳法，培养空间观念和推理能力。
总之，小学数学拓展课的教学策略应该是灵活变化的，应该根据不同的学习素材，充分考虑学情，选择最适合孩子的学习方式，引导学生探究。
来源 | 《小学数学研究》2020年6月刊
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