量子信息10：原子与光子共舞3：量子计算

单比特量子操作

前面我们说到，在相互作用绘景中和旋波近似下，单模激光与二能级原子的相互作哈密顿量为

可见，我们可以实现任意绕x和y方向的选择操作。注意，对于单比特门来说，两个垂直方向的任意角度的选择操作是完备的。

JC模型的哈密顿量可以制备原子比特和光子的纠缠态，同时也可以多步操作用来诱导两个原子比特间的纠缠（等价于两比特间的纠缠门），从而实现对原子的通用量子门组合。简单的例子如下：

1.用JC模型的密顿量可以制备光子与原子1的最大纠缠态；

2.用JC模型哈密顿量实现原子2和光子态的交换，使得原子1和2处于纠缠态。

下面我们用另外一种方式来实现完备操作，即利用腔场诱导的多比特间的相互作用来直接实现两比特的逻辑操作。

有效哈密顿理论

在分析量子力学系统的动力学时，通常遇到失谐量子系统的时间平均动力学，这可能需要复杂的理论或数值处理。因此，找到一个有用简洁的公式来获得描述情况的有效哈密顿量是很重要的。事实上，任何有效的理论在某种程度上都与二阶微扰理论相当。这里，我们回顾了这种公式的推导[1]。

相互作用绘景中的薛定谔方程为

第一项可以由旋波近似被略去。我们进一步对第二项采用的马尔可夫近似，有

因此，对于以下形式的哈密顿量

两比特与腔的大失谐耦合

考虑两个相同的比特和腔之间的大失谐耦合的动力学。取\hbar=1， 哈密顿量可表示为[2]

下面我们来看原子体系态的演化。假设原子体系初态为|g>|e>，在有效哈密顿的作用下，其状态一般性可以写为

上述演化结果可以诱导出非平庸的两比特门，用于构造完备量子逻辑门组合。

强驱动下两比特与腔的失谐耦合

我们现在考虑两个全同原子与一个腔相互作用的同时，还被外界的经典场驱动[3]。此时体系的哈密顿量可写为

也就是说，我们可以通过强驱动替代大失谐条件达到对原子体系操作而不引入对腔光子态操控的目的，而且强驱动下，系统的演化时间也大大缩短，减少了退相干对操作的影响。

更一般地,  公式(28) 的演化算符可以用来制备多粒子的纠缠GHZ态. 此时，用自旋的耦合表象|J, M>可以更方便的描述，它是 J_z$算符的本征态

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[1] D. F. V. James and J. Jerke, Can. J. Phys. 85, 625 (2007); arxiv: 0706.1090.

[2] S.-B. Zheng and G.-C. Guo, Phys. Rev. Lett. 85, 2392  (2000).

[3] Zheng, S.-B. Phys. Rev. A 68, 035801  (2003).

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