量子信息12：超导量子计算

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量子物理ABC：

认识物理，理解量子；

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超导量子比特

约瑟夫森结合超导量子干涉环是构建超导量子比特的最基本原件。超导量子电路一般可以用约瑟夫森结的相位和库伯对两个自由度来进行描述。根据比特的工作区域，一般来说，超导量子比特主要有超导电荷比特、磁通量子比特和超导相位比特三种。后来经过人们的改进，又有了新的磁通量子比特fluxonium和改进型的电荷量子比特transmon等。

一般情况下，我们取超导岛上的电子对数目为0和1的最低2个能量态。则超导比特就处于两个电子对态|0>和|1>所张成的子空间中。此时超导比特的哈密顿量就可以表示为

约瑟夫森结在transmon比特中表现出的强耦合的作用，则限制了\varphi 只能是接近零的一个小量。因此这将是我们可以（i）忽略边界条件和（ii）可以将约瑟夫森的耦合能量进行级数展开，略去常数并保存至四阶项，也就是

一般来说，当E_J/E_C=50时，transmon比特能级基本不随门电压的改变而改变，因此外界控制噪声对其影响很小，一般我们取最低的两、三个能级用来作为逻辑比特的编码态，用来实现量子门。

一维超导传输线腔

对于一个超导传输线路来说，如果它的横向尺度远远小于它的长度的时候，我们就可以将该超导传输线路近似看做是一维超导线路谐振器。如上所示，该结构可以由无数个基本的线路单元组合而成。系统的拉格朗日量可表示为：

这里的q(x)就是电荷的线密度，可做如下的替换

线路量子电动力学(Circuit QED)

线路腔量子电动力学描述的是腔中原子或者分子与腔内的电磁场之间的相互作用。当 一个超导比特放在一个一维超导传输线的中间电压的波腹位置上，通过门电容与超导传输线产生耦合。超导传输线的量子化哈密顿量为 

超导比特的电容耦合

其中耦合强度为固定值，因为器件做好后，电容等不方便调节。 

电容耦合的强度调节

考虑两耦合比特的情况，耦合哈密顿可以写为

由于两个比特的频率不同，它们一般不能共振的交换能量。为了得到它们之间的共振耦合，我们对比特1外加一个交流磁通的驱动，使其频率变成如下周期震荡的形式，

此时的耦合强度就可以通过调节外加驱动的强度达到调节的目的。

对于N个比特的情况，哈密顿可以写为

也可以通过外加驱动的振幅达到调节的目的。

[1] 可调的电荷比特：Y. Makhlin, G. Sch¨on, and A. Shnirman, Nature (London) 398, 305 (1999).

[2] Circuit QED: M. H. Devoret and R. J. Schoelkopf,  Science 339, 1169 (2013).

[3] Transmon:  J. Koch et al., Phys. Rev. A 76, 042319 (2007);

J. Q. You, X. Hu, S. Ashhab, and F. Nori Phys. Rev. B 75, 140515(R) (2007).

[4] 可调耦合：M. Reagor et al., Sci. Adv. 4, eaao3603 (2018);

S. A. Caldwell et al., Phys. Rev. Appl. 10, 034050 (2018);

X. Li et al., Phys. Rev. Appl. 10, 054009 (2018).

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