车模航模你玩过，统计学模型你会玩吗？| 协和八
说人话的统计学
我们「说人话的统计学」栏目在过去的一段时间里，给大家连篇累牍地介绍了两门最常见的统计学基本功——t 检验和 ANOVA（方差分析）从原理到使用方方面面的问题。有了这些知识作后盾，加上如今各种方便的统计学软件，想来大家对于 t 检验和 ANOVA 的一招一式已然成竹在胸了吧？
话虽如此，如果我们来回顾和对比一下 t 检验和 ANOVA，也许还会有个别让人困惑的地方：
第一，我们总会强调，在使用 t 检验和 ANOVA 之前，要检查相应的假设是否成立（比如是否服从正态分布、各组方差是否相等之类）。诚然，我们之前都讨论过为什么我们需要这些假设，可是也许你还是想问，真的非它们不可吗？要是有些假设不成立，我们能不能不在乎它们呢？
第二，t 检验管的是一两个组的平均值，ANOVA 管的是三个或者以上组的平均值，说起来都是一样的问题，为什么它们的原理看起来这么不一样？它们到底是一回事还是两回事？
而且，把这两个问题结合起来看，你也许还会觉得，统计学似乎有些琐碎和死板——对于同一个问题（对算术平均值进行比较和推断）的不同情况，就得用上很不一样的两种招式，还得有那么多条条框框。有没有更灵活多变的方法，能够事半功倍地解决不同的问题呢？
为了解答上面这些疑问，并且引出未来将要学习的新话题，今天我们一起来尝试用一个新的角度来看 t 检验和 ANOVA。
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不管是 t 检验，ANOVA，还是以后会讨论的其它什么统计学的方法，归根结底它们都是各种各样的统计学模型。所谓模型，就是对现实世界的某种抽象化。我们小时候把玩过的汽车飞机模型，看房子时琢磨过的微缩小区或房型展示，外出旅游时查阅过的地图，中学物理考试里算过的牛顿力学，都是各式各样的模型，为我们总结了客观世界中某些方面的规律或信息。
那么，t 检验和 ANOVA 分别为我们构建了什么样的统计学模型？
我们首先从最简单的一种情形看起——只有一个分组，而我们想要考察该分组的某个变量的算术平均值。这其实就是单样本 t 检验的情况。这时，我们最基本的想法是，该分组内的不同个体由于具有一些共同的性质，使得不同个体该变量的取值应当服从某种规律，具有一定的共性。例如，同一种类的成年猫头鹰有大体相似的体重，工作日同一时间段从东单到阜成门的行车时间基本类似，等等。
如果我们接受这个出发点，回到我们感兴趣的变量，那么一个自然的推断便是，该分组内各个个体的这个变量应当大体接近于它们的「共性」所决定的某个值。之所以说是「大体接近」，而不是完全等于，那是因为不同个体之间总会有些随机误差，使得变量的具体取值相对于它们的共性所决定的值会有所偏离。
如果用 y 表示变量的取值，用 μ 表示个体在这一方面的共性，那么就有
这已经可以说是一个模型了。
我们上面说过，构建模型的意义在于总结客观世界中的某些规律。在这个例子里，如果我们能把一堆数据套到这个模型上，找出对的合理估计，我们就得到了对世界的一点新认识。
然而，这个模型很难让我们找到一个确切的——由于那个约等号的存在，我们顶多只能找到的一个模糊的范围，这个范围的界限在哪里都不好说，更别说找出一个最佳的了。
所以，我们还需要对这个模型做些改进，使它更精确一些。要把这个约等号去掉，我们就得把每个 y 和之间的差别具体化。
如果我们引进 εi 作为第 i 个数据点与 μ 之差，那么就有
去掉了约等号，看起来要精确多了。
但是，光有这条等式还不够，因为我们仍然可以随意认定一个，然后剩下的差别作为就行了。要锁定 μ，我们还需要对 εi 的性质做个规定，这样它们才不能随便乱跑。
这时，我们就需要用到在《算术平均数：简单背后有乾坤》和《正态分布到底是怎么来的？》两集中的知识——一种合理的假设，是认为误差 εi 应该服从均值为 0 的正态分布，也就是说
这样一来，我们的模型中就有两个参数，一是 μ，代表个体间共同的性质，一是 σ（标准差），代表误差的发散程度。
有了这两条，我们就可以选定某些客观标准（比如《算术平均数：简单背后有乾坤》中简单介绍过的极大似然估计；不了解或者已经忘记了也没有关系，我们在未来几集里还会再详细介绍该方法在线性模型中的应用），找出最符合我们手上数据的、对 μ 和 σ 的估计值（一般写作
在单样本 t 检验中，我们用到的统计学模型其实就是这一个（在样本量较小的时候，也可以认为误差服从 t 分布，参看《想玩转t检验？你得从这一篇看起》）。有了
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单样本如此，有两组的时候又怎么样呢？
我们把两组分别记为组 1 和组 2 ，组 1、组 2 中的数据点记作 y1m，y2n。
参照上面只有一个组时的模型，则有
其中 μ1、μ2 分别是两组各自的某种共性决定的理论均值，而 σ1、σ2 分别是两组各自随机误差的标准差。
还记得两组独立样本的 t 检验要先检验方差是否相等吗？那时我们关心的其实就是上面的 σ1、σ2 是否相等。如果我们有理由认为两者相等（记作 σ），那么我们还可以进一步把上面的模型换个样子。
这时，我们先把两组数据合并在一起，不再分成 y1m，y2n，而是统一按照原来的办法，记成 yi。但是这样的话，我们还怎么知道哪个属于组 1、哪个属于组 2 呢？为了解决这个问题，我们引进一个新的变量。如果第 i 个数据点来自组 1，那么 si＝0；如果来自组 2，则 si＝1（其实只要两个组各取一个不一样的数值即可，不一定非要 0 和 1，但是我们后面会看到，这样做有它的优越性）。这样一来，上面的模型就可以变成
我们不妨验证一下，这种写法是不是和前面两个组分开的模型是一样的。如果是第一组，那么 si＝0，代入到上面的式子里我们可以得到
如果是第二组，则有si＝1，同样代入到前面的模型，会有
对照一下一开始两组分开描述的模型（4）和（5），确实是一样的吧？
确认了这一点，我们还可以把模型（6）写得简洁一些。令 β0=μ1，β1=μ2 - μ1，我们可以得到
利用实际数据和极大似然估计，我们可以估计出 β0、β1 和 σ。注意到 β0 就是 μ1，也就是组 1 的理论均值，而 β1 是 μ2 - μ1，也就是组 1、组 2 理论均值的差别。因此，在独立样本的 t 检验中，我们针对两组均值之差进行统计推断，关心的其实就是 β1。
我们再回到模型（7），观察这个式子以及 β0、β1 的含义，我们可以发现，它可以这样理解：当 si＝0 时，yi 的平均值就是 β0，也就是说，这个模型把第一组作为一个「基准」。而当 si＝1 时，这个模型要对 yi 进行「修正」，而修正的量是多少呢？就是 β1，即两组均值之差 μ2 - μ1 了。
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顺着这样的思路，我们也可以把这样的模型拓展到 ANOVA 中涉及多组比较的情形。和上面一样，不论有多少个因素，多少个分组，我们都可以像模型（4）（5）那样，为每个组建立一个有自己的均值、自己的标准差的独立的模型。然后，如果每个组的标准差都相等（这就是 ANOVA 中各组方差相等的要求的来源！），我们就可以按照上面的方法，把模型归并到一起，选定某个组作为「基准」，然后根据组别，在「基准」的基础上进行「修正」。如果是多因素的情形，还要考虑主效应和交互效应的叠加。
上面提到的这些模型，都属于一类最常见、最好用的统计学模型——线性模型（linear models）。
明白了这一点，我们就可以知道，t 检验和 ANOVA 只是线性模型中的一些特殊情形，而它们的具体计算方法（如 ANOVA 中的各种平方和与 F 分布的应用）只不过是统计学家们根据这些特殊情形的理论性质，找出的一些便捷规范的方法而已。打个比方，如果把数据分析比做烹饪，t 检验和 ANOVA 及其计算方法就好像是电压力锅上「煮饭」、「炖肉」之类的预设程序一样。
而这些预设程序在带来莫大方便的同时，也给我们制造了不少束缚，t 检验和 ANOVA 亦是如此。
分布不正态怎么办？各组方差不相等怎么办？球面性假设不符合怎么办？这些要求一来让人死记硬背不求甚解，二来在实际问题中并不总能得以满足。虽然有时能有数据变换、非参数检验一类的解决方法，但是许多时候难免有些削足适履。要把纷繁复杂的数据做出真正的好菜，还是得在炉子上像个真正的大厨一样才行（当然，在条件合适的时候，我们也不排斥压力锅）。
在接下来的几集里，我们将为大家重点介绍线性模型的建立和相关统计推断。掌握了统计学建模的方法，我们就可以大大丰富数据分析技能，发掘更多统计学的魅力与精彩啦！
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男，45岁。上腹部剧烈疼痛3小时，随机蔓延到全腹，呈持续性。查体：板状腹，全腹压痛及反跳痛，肠鸣音消失。
题目来源：临床执业医师资格考试往届真题
本期主播：波棱瓜子🍉
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作者：张之昊
编辑：黑草乌叶