摩根大通提出首个适用于近期量子硬件的投资组合优化算法

光子盒研究院出品

投资组合优化是金融领域的一个重要用例，但其计算复杂性迫使金融机构在耗费大量时间的情况下也只得到一个近似解。因此，科学界正在研究如何将量子计算用于高效、准确的投资组合优化。

投资组合优化可以表述为一个二次规划，成本函数强制风险最小化以获得目标回报。特别是均值-方差投资组合优化问题。使用拉格朗日乘数法，二次规划可以转换为线性方程组，并可能受益于HHL量子算法提供的指数加速。HHL算法最早由Harrow、Hassidim和Lloyd在2009年提出，是第一个求解线性方程组的量子算法。

然而，HHL中的多个组件不适合在含噪声的中等尺度量子(NISQ)硬件上执行。因此，摩根大通应用研究与工程未来实验室提出了一种混合算法NISQ-HHL，这是第一个适合在NISQ设备上端到端执行小规模投资组合优化问题的HHL混合算法。该团队已将论文发表在预印平台arXiv上[1]。

2009年，Harrow、Hassidim和Lloyd引入HHL算法，用于解决量子线性系统问题(QLSP)。这涉及到求解一个线性系统A，其中A∈ℂ^N×N，∈ℂ^N，从而将对应的量子态|x〉返回到线性系统的解，直到归一化因子。2019年，一个韩国团队引入经典/量子混合HHL变体，本文介绍的NISQ-HHL是这种变体的增强版本。

原始论文：

HHL算法

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.103.150502

混合HHL算法

https://www.nature.com/articles/s41598-019-41324-9

NISQ-HHL利用新的可用量子硬件功能扩展了混合HHL变体，包括：中间电路测量、量子条件逻辑(QCL)以及量子比特重置和重用。NISQ-HHL是第一个结合了在真实硬件上执行的相位估计的QCL增强版本的算法。

NISQ-HHL优势如下：

1)经典/量子混合HHL算法的增强版本，该算法将中间电路测量、量子条件逻辑(QCL)以及量子比特重置和重用等功能整合到用于特征值估计的独立量子相位估计(QPE)例程中。这有两个主要优点，使得生成的算法更适合NISQ计算机：

a)辅助量子比特的数量减少到只有一个。单个辅助量子比特可以根据需要频繁被测量、重置和重用，从而大大减少了用于计算的量子比特。

b)虽然标准QPE要求在各种辅助量子比特之间有受控门，但QCL允许应用以经典寄存器为条件的门。这降低了对量子比特连接、交换门(SWAP)或量子比特传输的要求。

2)一种新的、有效的确定标度A的值的方法，该方法允许以明显更高的精度求解特征值。

3)通过在真实量子硬件——霍尼韦尔离子阱系统Model H1上执行NISQ-HHL来解决投资组合优化问题，得到了一个经验评估。其基准包括标准普尔500资产组合。评估包括对结果的比较分析。

NISQ-HHL将标准QPE替换为使用QCL进行特征值估计的QPE，增强了韩国团队引入的混合HHL算法。通过QCL增强的QPE称为QCL-QPE。

如下图所示，NISQ-HHL由四个步骤组成：

 NISQ-HHL端到端流程

(a)QCL-QPE程序用于以n比特精度构建相关特征值估计的分布。为了使其有效，需要根据最优参数γ来标度A。为此，首先运行了他们在本文中提出的两种算法，以选择γ的最优值。

(b)对所得直方图进行经典后处理，以获得m个相关特征值的估计值，即λ_b。

(c)在(b)中获得的n比特估计值用于确定特征值反演电路的旋转角度这个估计值也被映射到较少的比特数r。每个旋转都以其相应的r比特估计值为条件。

(d)执行标准的HHL程序，但是它使用在(c)中构造的电路用于特征值反演步骤。

其中，QCL-QPE具有两个特性，使其电路比QPE的标准版本更适用于近期设备：

1)QCL-QPE只需要一个辅助量子比特即可获得任意比特精度；

2)QCL-QPE将双量子比特门替换为由经典比特控制的单量子比特门，如下图所示。

在NISQ-HHL中，QCL-QPE用于估计相关特征值。为了做到这一点，这需要通过哈密顿量模拟在时间2πγ上演化A的传播子U :=e^iA2πγ。将γ定义为矩阵A的标度参数。

但这需要解决哈密顿量模拟在NISQ设备上执行的挑战。为了在量子硬件上使用NISQ-HHL进行实验，他们不是使用量子算法进行哈密顿量模拟，而是经典地计算U。因此，NISQ-HHL还包括一种为哈密顿量模拟选择最优演化时间的新方法。

为了证明NISQ-HHL的有效性，研究人员考虑了一个有两项标准普尔500资产的投资组合优化问题。实验结果是在霍尼韦尔离子阱系统Model H1和QCL上获得的，Model H1支持中间电路测量、量子比特重置和重用。使用剑桥量子公司的pytket包将电路从Qiskit传输到H1的本机门并进行编译和优化。

在需要哈密顿量模拟的组件中，他们经典地计算U。然后，传递给Qiskit，Qiskit将其分解为基础门。

他们对标准QPE和QCL-QPE的性能进行了基准测试，以估计A的特征值。A的标度参数设置为γ=100。他们比较了两种QPE实现所需的门和量子比特的数量，以估计不同精度的特征值：3比特、4比特、5比特。如下表所示，QCL-QPE使用了较少的量子比特和门。

随着精度的提高，两种QPE实现的双量子比特门的数量都在增加。但使用QCL-QPE(而不是标准实现)所需的双量子比特门的数量以n(n-1)的二次方增长，n是比特精度。

此外，即使比特精度增加，QCL实现中的量子比特数量也不会改变。这与标准QPE的线性增长形成了鲜明对比。

为了量化这两种实现的性能，研究人员比较了两种实现中三种精度的保真度，见下表。

可以看出，对于3比特估计，两种实现的计算保真度是相似的。他们将精度提高到4比特和5比特时，两种实现中的电路都会加深，因此，保真度会下降。但由于上述优势，QCL-QPE电路比标准实现更浅。因此，QCL-QPE实现的保真度仍然高于标准QPE。至于5比特精度的保真度衰减可以用门的数量接近当前设备支持的极限来解释。

通过在霍尼韦尔H1系统上执行NISQ-HHL，研究人员获得了以量子态表示的具有两个标准普尔500资产的投资组合优化问题的最优分配向量。他们还表明，NISQ-HHL特征值反演电路比均匀受控旋转门方法更有效。这是因为减少了受控旋转的数量，电路深度减少。下表进行了对比：

此外，研究人员计算了量子组合态和经典计算的以量子态加载的解之间的内积。在硬件和Qiskit状态向量模拟器上执行时，使用NISQ-HHL，他们获得了比均匀受控旋转方法更高的内积。最后，他们证明了NISQ-HHL可以很容易地应用于任何给定规模的投资组合。

他们考虑了分别包括6项和14项标准普尔500资产的两个投资组合优化问题。对于这两个资产组合，使用NISQ-HHL计算的内积明显更高(非常接近1)。此外，与均匀受控旋转电路相比，在NISQ-HHL实现中的旋转次数和因此产生的电路深度要少一个数量级。这些结果表明，当近期硬件能够支持指定数量的量子比特和电路深度时，NISQ-HHL将获得非常好的结果。如下表所示：

最后，摩根大通研究团队表示：“尽管本文的重点是投资组合优化，但它提出的使HHL更具可扩展性的技术通常适用于NISQ时代可以通过HHL解决的任何问题。”

论文链接：

[1]https://arxiv.org/pdf/2110.15958.pdf

—End—

相关阅读：

光子盒将为中国境内的研究机构和企业提供一个免费的垂直招聘信息发布渠道，欢迎有需求的机构或企业直接联系光子盒。（微信：Hordcore）

你可能会错过：