金融机构必看！衍生产品定价的量子优势路线图

光子盒研究院出品

2020年12月，IBM和高盛公布的研究表明，量子计算机在衍生产品定价方面还不能与经典计算机相比。但是，他们已经确定了量子计算机在该领域超过经典计算机的速度需要达到的硬件条件——7500个逻辑量子比特和4600万的T-depth（一个量子比特在退相干之前可以执行的操作）。

之后，IBM还将制定金融衍生产品定价的量子优势路线图。

如何给衍生产品定价？

目前市场上各种金融产品令人眼花缭乱，但是从本质上来讲，金融产品只有两类：

一是原生产品(Underlying Financialproducts)，包括货币、外汇、存单、债券、股票；以及利率或债务工具的价格、外汇汇率、股票价格或股票指数、商品期货价格等。

二是衍生产品（Derivatives），是指从原生资产（Underlying Assets）衍化和派生出来的金融工具，衍生产品价值取决于一种或多种基础资产或指数，包括远期、期货、掉期（互换）和期权，具有四个显著特性：跨期性、杠杆性、联动性、不确定性或高风险性。衍生产品合约目前的全球总市值估计在几十万亿美元。

所有金融产品的交易都是基于价值评估作出的决定，简单来说，当卖方选择卖出时，一定是当前价格已经超过了他对该产品的定价，而买方在同一价位买入，一定是当前价格低于他对该产品的定价。

每个市场参与者都有各自的定价系统，尽管百年来人们提出了众多定价模型，但是仍然不能100%确定金融产品的价值，这是因为股票等基础资产定价的影响因素非常多，而且随机性无处不在。衍生产品在基础资产上层层嵌套，随机性更强，定价难度也更高。衍生产品定价作为跨学科综合性专业，对计算机技术、数学建模、金融业务理解都有较高要求。

目前绝大部分衍生产品定价方法都源于1973年提出的Black-Scholes模型（BS model）有效市场偏微分方程，BS模型就衍生产品定价引入了微分思想。作为奠基之作，BS模型决定了之后几十年衍生产品定价都是在解决不同市场模型对特定衍生品的微分方程求解。

微分方程求解方法包括精准解析解、近似解析解、数值解方法。其中数值解是通过统计方法求解，包括二叉树法、偏微分方程（PDE）、傅里叶变换（FFT）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation, MCS）等，高性能计算机技术使数值解优势更加凸现。

不同定价模型各有优缺点，精准解析解、近似解析解计算效率高；数值解执行效率低，但对复杂产品和市场的模型开发效率高，通用性强。其中蒙特卡罗模拟是目前较为主流的数值解方法。

蒙特卡罗模拟（MCS）方法就是指基于现货、利率、波动率假设模型，以选定的市场数据，模拟未来现货价格行走路径，在这些路径上计算衍生品模拟收益，最后贴现求均值。

MCS方法适用范围广，能够解决绝大部分复杂衍生产品定价，且逻辑框架清晰，前置工作对于不同产品是通用的，不同衍生产品结构，区别仅在现金流定义，适合对新产品模型快速响应。同时适合并行计算，因为大量路径模拟之间是相互独立的。

然而MCS方法也有缺点：计算性能低，大量路径模拟计算量大，需要根据具体应用做性能优化；收敛误差对于简单产品而言变得不能接受，如果设置路径较多，计算性能变差，模型性能不适应高流动性下价格变化。

正因为有这些缺点，蒙特卡罗模拟的应用就是一个算力提升的过程。

算力提升：从GPU到QPU

早在2008年，美国的SciComp公司推出了一款能够缩短开发时间并加速蒙特卡罗定价模型性能的高科技衍生软件解决方案。该产品采用NVIDIA的GPU，可使衍生产品定价模型的运算速度比使用串行代码时最多快100倍。

十几年来，GPU一直都是金融模拟的主流加速工具。随着技术的进步，SciComp公司开始利用FPGA（现场可编程门阵列）替代GPU。2019年，SciComp公司推出了基于蒙特卡罗的定价、场景生成或风险仿真模型提供专业、低成本的FPGA编程服务。

与支持GPU的模型比较，采用FPGA加速的衍生产品定价与风险模型以少量能耗实现显著的性能加速，降低功耗与散热成本。此外，FPGA也提供确定性时延，不存在抖动和可预测的反应时间，从而减少性能变化。

SciComp公司采用Xilinx的FPGA芯片，大幅降低与CPU和GPU有关的运营成本。

每货币单位 (美元) 性能（路径数/秒）与每功耗单位 (mW) 性能

从CPU、GPU到FPGA，算力在不断提升，功耗在不断降低，体积也在不断变小，但无论性能如何提升，都将受到摩尔定律趋于失效的影响。

理论上说，当制程工艺达到2nm时，这个级别上的晶体管只能容纳10个原子，电子的行为将不再服从传统的半导体理论，晶体管不再可靠。

因此，人们把目光投向了量子处理器（QPU）。量子计算主要用于解决三类金融问题：一是投资组合优化，已有研究证明了在D-Wave机器上运行量子算法或混合算法，能够取得更好的结果；二是机器学习；三是模拟和定价。量子计算解决这些问题的难度依次增加。

当使用经典计算机计算衍生产品价格时，如果想将估计的精度提高一个数量级，需要将蒙特卡罗模拟中的样本数量增加100倍，在量子计算机上，提高同样的数量级，只需将样本增加10倍。这就是所谓的二次加速。

什么时候实现量子优势？

长期以来，研究人员只告诉我们量子计算可以为蒙特卡洛模拟提速，但是要达到怎样的条件才能超过经典计算的速度，一直没有答案。直到今年年底，IBM和高盛首次公布了答案。

为了找到答案，IBM和高盛研究人员提出了一种能够克服以往量子方法缺点的新方法——重新参数化方法（re-parameterization method），将预先训练的量子算法与容错量子计算方法相结合，大幅降低了使用量子计算机为金融衍生品定价的资源需求。

研究结果表明，量子计算机需要7500个逻辑量子比特和4600万的T-depth（一个量子比特在退相干之前可以执行的操作），才能比经典计算机更好地计算导数，即实现量子优势。

他们还估计，量子优势的门槛需要大约10 Mhz或更快的逻辑时钟速度，假设特定类型衍生产品的定价目标为1秒。

IBM和高盛发表了题为《衍生产品定价的量子优势门槛》的论文，这是对实现衍生产品定价的量子优势所需的量子计算资源的第一次详细估计。

之后，IBM还将制定金融衍生产品定价的量子优势路线图。根据IBM此前公布的量子计算路线图，他们将分别在2021年和2023年突破100和1000个量子比特，达不到7500个逻辑量子比特的要求。

而且7500个逻辑量子比特还需要更多数量的量子比特用于纠错，所需的量子比特数取决于要克服的错误量。较差的门保真度和量子比特连通性，可能需要成千上万甚至一百万个量子比特来纠错一个量子比特。

目前IonQ离子阱计算机的门保真度最高（平均双比特门保真度99.9%），纠错比例可以达到13:1（13个量子比特纠错1个）。照此标准，7500个逻辑量子比特将对应10.5万个物理量子比特。

根据IBM和谷歌的路线图，他们将在2029年实现100万量子比特，照此速度，实现10万量子比特将在2027年。前提是其他条件也能满足，比如4600万的T-depth要求更长的相干时间。

当然，不排除由于门保真度和量子比特连通性的提高，或者有其他减少错误的方法，从而将时间表提前。

参考文章：

[1]“蒙特卡罗模拟”通用衍生品定价框架, 中国银行全球市场部期权交易员王长松

[2]Goldman Sachs, IBM researchers use a new approach to estimate quantum computing resources needed for advantage in derivative pricing

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