推荐阅读！从经济学角度看量子计算机的价值

光子盒研究院出品

随着“祖冲之”系列挑战了谷歌的“量子优势”，量子计算机已经被确信将带来广泛的商业机会，也有着量子破坏和取代经典计算机的潜力。但同时，这些挑战出现的部分原因也是由于量子优势基准的不断变化。实际生活中，量子计算机比经典算法产生量子优势的能力存在不确定性。因此，一个问题油然而生：量子计算机是否能够在没有量子优势的情况下，仍然产生经济价值？

近日，多伦多大学的Francesco Bova、Avi Goldfarb以及滑铁卢大学和Perimeter研究所的Roger G. Melko等人在美国自然科学与工程研究委员会(NSFC)、加拿大研究中心(NSERC)等机构的资金支持下，合作针对量子计算机的经济效应进行了数据建模。

研究团队建立了一家量子计算公司和一家经典计算公司之间的竞争模型——古诺双寡头模型。具体来说，竞争将分为两个阶段进行：第一阶段中，各家公司都投资于扩大计算机的建设规模；第二阶段中，公司集中增加计算数量，其中量子计算机的量子比特、经典计算机的比特越多，则意味着设备可以解决更大的问题并应对更广阔的市场。

根据Singh和Vives两人[1]在消费者最大化其二次效用函数时，提出的二元垄断逆需求函数为：

其中，是每个公司对各自产品收取的价格，代表每个公司各自需求的截距。现在假定：

这里，a是两个企业共同的外生需求截距，则是各个企业特有的内生需求参数。接下来将详细讨论企业的内生参数。假设，则企业对各自的产品有一个共同的需求斜率——可变成本同时也是衡量产品差异化的指标：意味着产品具有完全差异化，即量子计算机具有量子优势；则意味着量子计算机和经典计算机具有同质性。接着，团队假定计算机的计算时间是两家企业可变成本(成本总额随着生产产品、服务的数量变动而变动)的唯一驱动因素；并且，量子计算机可以通过运行Grover算法，以经典计算机的平方根步骤数来完成计算过程。因此，设定经典计算公司的可变成本为,则量子计算公司的可变成本为c[2]。

接下来，研究团队对两家公司扩大计算机规模以解决复杂问题的场景进行建模，投资都对各自的需求截距产生正向影响。经典计算公司和量子计算公司的固定成本投资分别是其中是投资选择变量，是可以任意取值的正系数，反映了扩大一种计算机的规模比另一种要高：意味着量子计算机扩大硬件的成本高于经典计算机[3]。这一设定也将部分抵消量子计算机通过Grover算法二次加速带来的可变成本优势。经典计算公司和量子计算公司的利润函数可以分别表示为：

上述利润函数中，代表公司收入，代表公司的可变成本，代表了公司的固定成本。在公司竞争决策的第一阶段，双方都投资于扩大计算机的建设规模，分别设定以实现利润最大化；第二阶段中，双方集中增加计算机的计算数量，设定以实现利润最大化。针对进行一阶取导，得到经典计算公司、量子计算公司的最优数量分别为：

将最优数量代入上述利润函数中，生成和，并定义它们在利润最大化条件下呈现凹函数形态。对一阶取导，得到经典计算公司、量子计算公司的最优投资函数为：

最后，将方程带入利润函数，得到经典计算公司和量子计算公司的最终利润函数分别为：

上述表达式中，a代表公司利润，c代表量子计算机运行程序的成本，分别代表量子计算机和经典计算机的投资效率，是产品差异化函数：时，量子计算企业垄断性盈利；时，量子计算企业虽然不是垄断者，却仍有利可图。

图1 最佳投资函数（上）和最佳利润函数（下）

图1中描述了最佳投资和最佳利润函数，可以得出以下结论：

(1)根据最佳利润函数，某些情况下(c=2时)经典计算公司比量子公司更加有利可图；

(2)经典计算公司规模成本更低()。这和实际情况相符：扩大经典计算机规模的成本低于扩大量子计算机规模的成本。

这些观察结果意味着在处理较小问题(即c较小)时，经典计算机更具有优势。但是当计算生态系统规模更大、更复杂的问题时(差距变小)，“量子优势”将会凸显。

不过，量子计算机可能会需要企业在市场方面的投资更多，这意味着两家公司的可变成本并不对称。为剔除这一顾虑的影响，团队重新设定，分离市场需求增加时对公司利润的正面影响。此时，经典计算公司和量子计算公司的最优数量函数、利润函数分别为：

将新的利润函数一阶求导，得到：

 意味着，因此在其他条件不变的情况下公司利润a的增加对可变成本较高的公司(这里是经典计算公司)利润率影响较小：即使在经典计算公司市场创造成本较低()的情况下，由于较高的可变成本()，市场收益也较低。因此，较低的扩展成本不一定会产生更大的市场价值，即使在竞争最激烈()和扩展经典计算机成本更低()的情况下，量子计算公司也比经典计算公司更加有利可图。

纵观全文，整个经济模型的设定都强调了量子计算相对于经典计算的边际优势。结果也表明，即使量子优势从未实现，量子计算机也值得部署。具体来说，量子计算机的相对实用性取决于其更快的算力和更高的扩展成本之间的比较，但与此同时，这也并不意味着量子计算机应当立即广泛投用。相反，研究结果建议，“量子优势”并不是构建商业量子计算机的合适基准，当前经典计算机上仍然可行的快速计算能力可能恰恰是释放量子计算行业潜力的关键。

论文链接：

https://www.nber.org/system/files/working_papers/w29724/w29724.pdf

注释：

[1] https://www.jstor.org/stable/2555525 

[2] 因为有跟多量子算法能够提供比经典算法更快的速度，因此Grover算法可能会使分析偏离量子经济优势。其他的例如Shor的因式分解算法——计算成本从N中的指数缩放到N中的多项式缩放，在相干量子计算机上运行十分有效。虽然Grover算法定义速度可能会降低量子计算的加速优势，单将其作为可变成本差异的基础对于我们的测算结果仍然适用。

[3]  依据摩尔定律，扩展经典计算机的能力增长逐年放缓。这意味着随着时间推移，经典计算机、量子计算机的拓展效率（B1、B2）的差异将继续减少。此时，即使在没有明显量子优势的环境下，量子计算机和经典计算机的利润差异也会变大。

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