综述：量子纠错技术的过去、现在与未来

来源：光子盒研究院出品

错误是计算中不可避免的现象，在量子计算中尤其如此，我们必须对超敏感量子系统的行为进行精确控制。虽然通过使用减少量子系统中噪声影响的技术在短期内可以实现计算优势，但要充分挖掘计算的潜力，实现超多项式加速的量子算法，很可能需要在量子纠错技术方面取得重大进展——以容错为最终目标，错误缓解是让量子计算走向实用的途径。

在过去的几年里，该领域的研究人员在量子纠错方面取得了重大进展，但要实现这一目标，还有很多工作要做。例如，IBM科学家正在与更广泛的量子社区合作，开发可扩展的量子纠错（QEC）技术，以尽快实现实用的量子计算。

IBM正坚定地致力于推进纠错技术的发展。IBM在纠错方面的研究及其主办活动（如量子纠错暑期学校）使自己能够培养新的想法，更接近于能够执行任意长、无差错的量子计算。

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什么是量子纠错？

现代世界依赖于数字信息的存储、传输和处理，数字信息表示为0和1，称为位（比特）。有时，当其中一些比特从0翻转到1，或从1翻转到0时，数字信息会被损坏。传统的经典计算机在这些条件下是高度可靠的，因为现代计算机组件很少遇到这些错误，并且错误纠正方案可以保护数据的存储和传输。

另一方面，量子计算机使用如何修复量子计算错误[2]？新技术旨在实现纠错的速度比错误发生的速度更快。量子比特不是0和1，可能的错误率比经典比特大得多，可能的错误类型也更广泛，如相位错误——是对量子比特携带的额外量子信息的破坏，这使得量子比特与经典比特有本质的不同。

经典比特和量子比特

量子纠错码为量子计算机提供了所需的保护，使其能够在存在这些更高的错误率和更广泛的错误类型的情况下可靠地运行。至关重要的是，这些代码必须在不直接测量数据量子比特的情况下工作，因为这种测量会导致量子处理器丢失其量子信息，从而失去量子计算的优势。

有许多可能的纠错码，可以在各种情况下发挥作用。目前最有希望的编码系列被称为量子低密度奇偶校验位（qLDPC）编码：该编码通过对几个量子比特进行某些检查来诊断量子错误，并且每个量子比特都参与一些检查。这些检查类似于经典纠错中的奇偶校验位检验。

这些检验只需要几个物理量子比特，这使得qLDPC码在设计高效的量子纠错电路时具有很强的吸引力，因为电路中的错误操作只会破坏参与同一奇偶校验的那几个物理量子比特的状态。重要的编码，如二维表面码和二维色码，目前许多实验都是用这些编码进行的，都属于qLDPC系列。

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以纠错为基准

大规模制造可靠的量子计算机是很困难的。因此，有必要在当今的硬件上研究和实现代码，这不仅是为了扩大我们对如何设计更好的量子计算机的知识，也是为了帮助对当前硬件的状态进行基准测试。这有助于加深我们对系统级要求的理解，并提高我们系统的能力。通过将这些功能推向物理极限，并使用精心设计的基准对其进行评估，研究界发现了一些重要的约束条件，这些约束条件告诉我们如何在量子计算中共同设计最佳的错误抑制、缓解和纠正协议。因此，目前大量的QEC研究进入实验演示阶段，使用最合适的QEC代码在当今的量子硬件上实现逻辑运算。

编码到3比特重复码（左）导致逻辑重方格（右）。

这些演示中有许多涉及到研究人员实施表面码和相关的重六边形码方案[3]。这些代码系列被设计用于二维的量子比特网格上，通常具有不同作用的物理量子比特：用于存储数据的数据量子比特和用于测量检查或标志的辅助量子比特。IBM通过“距离”来衡量这些代码对错误的稳健性，“距离”这个指标代表了返回一个错误的逻辑量子比特值所需的最小物理量子比特错误数。因此，增加距离意味着更稳健的代码。逻辑量子比特误差的概率随着距离的增加呈指数级下降。

在过去的一年里，IBM实现了距离-2[4]和距离-3[5]的代码，苏黎世联邦理工学院和中科大的研究人员实现了距离-3代码[6]，甚至谷歌的研究人员也实现了距离-5代码[7]。这些代码代表了重要的实验工作，也许最重要的是，实现这些代码的事实表明，人们在减少量子处理器的错误方面取得了多少进展。此外，测量逻辑错误率的改进将提供进一步的证据（也许是信心的提升），表明该领域正处于正确的轨道上。

其他团队已经展示了其他类型的纠错码（称为色码）的实验演示。色码和表面码遵循类似的原则，但色码具有更简单的量子逻辑门，但代价是更大的奇偶校验。去年，霍尼韦尔（现为Quantinuum）的研究人员在他们的捕获离子硬件上实施了色码。今年，因斯布鲁克大学的研究人员实施了至关重要的T型门[8]作为色码演示的一部分，而Quantinuum的研究人员实施了一个错误校正的CNOT门[9]，这是提供纠缠的门之一。与表面码示例一样，这些演示代表当前最先进的纠错技术，同时也标志着在努力改进这些代码时的前进方向。

03

开发新代码

迄今为止，二维表面码在纠错方面一直被认为是无可争议的领先者；然而它有两个重要的缺陷。首先，大部分物理量子比特都用于纠错。随着表面码的距离增长，物理量子比特的数量必须像距离的平方一样增长，以编码一个量子比特。例如，一个距离为10的表面编码将需要大约200个物理量子比特来编码一个逻辑量子比特。第二，要实现一套计算上通用的逻辑门是很困难的。领先“魔法态提取”方法需要额外的资源，而不是简单地将量子信息编码为纠错码。这些额外资源的时空成本对于中小规模的计算来说可能过于昂贵。

解决表面码的第一个缺点的一个方法是，从qLDPC码的“好（good）”系列中寻找和研究代码。“好（good）”是一个技术术语，一个好的码族是指逻辑量子比特的数量和距离与物理量子比特的数量成正比；因此，物理量子比特增加一倍，逻辑量子比特的数量和距离都会增加一倍。表面码族并不“好”，寻找好的qLDPC码一直是量子纠错中的一个主要开放性问题。

这个问题的一个重大进展是在2009年，当时研究人员Jean-Pierre Tillich和Gilles Zémor发现了超图积码的编码系列：这些代码没有改善平方根距离极限，但它们确实极大地改善了物理量子比特到逻辑量子比特的扩展。去年，莫斯科国立大学的Pavel Panteleev和Gleb Kalachev发表了一篇具有里程碑意义的论文[9]，对Nikolas Breuckmann和Jens Eberhardt最近提出的猜想[10]进行了巧妙的数学证明，即存在一类qLDPC码（称为提升的/平衡的积码）可以打破这一障碍。换句话说，他们发现了好的码族。但与表面码不同的是，这些新的qLDPC码需要比二维网格提供更多的量子比特连接，也就是说，一些量子比特需要通过长距离连接。

总之，这些发现共同开辟了量子纠错的新方向，并导致了进一步的发展。例如，今年早些时候，Anthony Leverrier和Gilles Zémor发表了Panteleev-Kalachev代码的简化版本[11]，称为量子坦纳码（Tanner code），这加强了我们对这些密码能力的理解；今年夏天，来自麻省理工学院和加州理工学院的研究人员首次推出了量子坦纳码的高效解码器[12]，这是使这些下一代纠错码成为现实的关键一步。

良好的qLDPC编码是实现高效容错量子计算的一种可能的方法。其他方法有可能通过降低通用逻辑门的成本来解决表面码的第二个缺点。由IBM Quantum的Guanyu Zhu领导的一个团队研究了一类名为分形表面码（FSC）[13]的代码，这是通过在三维表面码中打出具有平滑边界的孔来构建的三维代码，这样产生的网格是一个分形。与qLDPC代码一样，FSC将多个物理量子比特组合在一起，模拟一些潜在的拓扑秩序（即逻辑量子比特），即使在小扰动的情况下也能保持系统的一些基本特性。然而，也像qLDPC编码一样，它们需要比二维晶格更复杂的量子比特连接。这样做的好处是需要更少的开销来实现一套通用的逻辑门的代码。

左：在分形立方体几何上定义的3D分形模型；右：蜂巢代码。

还有其他代码也在进行中。去年，微软的研究人员首次推出了蜂巢代码[14]，因为它将量子比特组织在一个六边形网格的顶点上而得名。这与今天IBM Quantum使用的重六边形代码相似，但不相同。蜂巢码和二维表面码的关键区别在于，逻辑量子比特是动态定义的（在计算过程中，一个逻辑量子比特不一定对应于完全相同的物理量子比特），并且可以用令人难以置信的简单量子电路来测量检查。到目前为止，蜂巢码只有通过对奇偶校验位检验进行所谓的纠缠测量（以保留其纠缠的方式同时测量两个量子比特）才被证明与领先的表面码有竞争力。

在一篇后续论文中[15]，谷歌和加州大学圣巴巴拉分校的研究人员对蜂巢码进行了基准测试，发现它需要7000个物理量子比特来编码一个具有万亿分之一逻辑错误率的逻辑量子比特。因此，他们得出结论，这种代码是在当今具有二维量子比特网格的量子硬件上实施纠错的一个有希望的候选者。

04

解码（Decoding）

当我们使用部署的纠错码执行量子计算时，我们会观察到重要的错误敏感事件：这些事件是潜在错误的线索，当它们发生时，解码器的任务是正确识别合适的错误纠正。经典硬件执行这种解码，必须跟上重要事件发生的高速率。此外，从量子设备传输到经典硬件的事件数据量不得超过可用带宽。因此，解码器对控制硬件和量子计算机与经典系统的接口方式施加了额外的限制；解决这一挑战在理论上和实验上都具有关键意义。

许多类型的代码的解码器在计算上是有效的（即在多项式时间内运行），然而鉴于上述限制，这可能是不够的。开发和试验实时解码器正在成为创建有用量子系统的一个重要方面。这一事实从最近在科罗拉多州举行的IEEE量子周活动上举行的实时解码器会议，以及从IBM、AWS、Quantinuum和其他公司最近关于实时解码器的论文数量中可以看出。

该领域内的研究继续进行，以开发更好的解码器，并了解它们工作的根本原因。对于一般的稳定器代码，IBM的Ben Brown最近一直在利用由于表面码稳定器元素之间的对称性而产生的基本结构；通过集中研究这些对称性，他已经开始解决这样一个问题：被称为“最小权重完美匹配解码器”的解码器如何能被推广到其他类型的代码[16]。

2022年早些时候，IBM的一个研究小组在IBM量子硬件上实现并演示了被称为“匹配和最大似然解码器”[17]的解码器，在电路中间测量和快速重置的帮助下适用于距离-2和距离-3的重六边形代码。这些只是最近出现的关于解码器的一些重要研究成果，预计未来会有更多令人兴奋的成果。

上图：Ben Brown[16]研究组提出的三角形量子比特阵列的边上有三种不同类型的边界的色码，产生了一个支持莫比乌斯带的对称性：可以对更多的稳定器编码进行解码。下图：文献[17]中Z和X稳定器测量的解码图，分别用于纠正带有电路级噪声的d=3重六边形代码的X和Z错误。图中的蓝色（a）和红色（b）节点对应稳定器，黑色节点对应边界。节点标签是由稳定器的测量值（Z或X）定义的，同时还有一个索引稳定器的下标和表示圆形的上标。

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执行计算

不能简单地对逻辑量子比特进行编码和解码；但是，我们还必须能够使用它们进行计算。因此，一个关键的挑战是找到简单、廉价的技术来实现一组计算上通用的逻辑门。同样，对于二维表面码及其变体，我们没有这样的技术，并且需要昂贵的魔法态提取技术。虽然多年来，魔发态提取成本已经降低，但它仍然远非理想，研究仍在继续改进蒸馏过程并发现不需要它的新方法和/或代码。为了避免中期魔法态提取的开销，人们设想错误缓解和纠错协同工作，通过使用纠错来消除Clifford门的噪声和T型门上的错误缓解，从而提供通用门组。

最近，Benjamin Brown的结果[18]展示了如何在二维架构中实现资源最密集的门之一，称为受控-受控-Z门(CCZ门)，而不需要求助于魔法态提取。这种方法依赖于这样的观察，即表面码的三维版本可以轻松实现逻辑CCZ，然后巧妙地将三维表面码嵌入到2+1维时空中。

左：三维时空表面码；右：非Clifford门的二维布局。

减少实现一套计算上通用的逻辑门的巨大开销成本是量子纠错界的一个关键目标，也是追求越来越大的量子计算系统的一个重要组成部分。

06

下一步，将走向何方？

量子计算机是真实存在的，可以编程，但构建大型可靠的量子计算机仍然是一个重大挑战。个重大挑战。要充分挖掘这些系统的潜力，可能需要量子纠错技术的重大进展。幸运的是，我们似乎正在进入另一个创造性的时期，因为该领域开始向新的方向推进，最近的进展，如新的qLDPC代码，显示了未来系统的前景。

参考链接：（上下滑动查看更多）

[1]https://research.ibm.com/blog/future-quantum-error-correction

[2]https://www.scientificamerican.com/article/how-to-fix-quantum-computing-bugs/

[3]https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011022

[4]https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.128.110504

[5]https://arxiv.org/abs/2203.07205

[6]https://www.nature.com/articles/s41586-022-04566-8

[7]https://arxiv.org/abs/2207.06431

[8]https://www.nature.com/articles/s41586-022-04721-1

[9]https://dl.acm.org/doi/10.1145/3519935.3520017

[10]https://ieeexplore.ieee.org/document/9490244

[11]https://arxiv.org/abs/2202.13641

[12]https://arxiv.org/abs/2206.06557

[13]https://journals.aps.org/prxquantum/abstract/10.1103/PRXQuantum.3.030338

[14]https://quantum-journal.org/papers/q-2021-10-19-564/[15]https://quantum-journal.org/papers/q-2022-09-21-813/[16]https://arxiv.org/abs/2207.06428[17]https://arxiv.org/abs/2203.07205[18]https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aay4929

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