以分形为背景的数列问题的研究

作者：刘天宇

指导教师：何睦

江苏省张家港市常青藤实验中学

江苏卫视近期热播的第四季《最强大脑》有一个挑战项目，名为“分形之美”. 挑战者需要在一个由复变函数生成的25张分形图集合中，通过对其中5张图形的相关数值信息，推理计算出这个题目本身的规律公式，以及图形演变的逻辑，答出剩余20张图形中的任意3张分形图所对应的数值. 烧脑的挑战项目，费解的比赛规则都极大的吸引了我的关注. 

 其实，分形几何学和最近我们所学习的数列有着密切的联系.

       苏教版教材必修5的两道课本习题就是两种不同的分形图案. 

题1

题2

如图所示的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……，试探究第n个图形的边长和周长.

    这两个问题的背景都属于分形几何，希尔宾斯基三角形和雪花曲线都可叫做分形.

    分形（Fractal）这个词汇是它的创始人、美国数学家曼得勃罗教授于1975年夏天一个寂静的夜晚，在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典时想到的，其拉丁文原意是：“产生无规则的碎片”，分形几何的一个性质叫做自相似性质，可通俗地理解为适当地放大或缩小图形的几何尺寸，整个结构并不改变. 

    分形几何学的创立，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众多领域的难题提出了全新的思路.

这门充满活力的新学科与数列结合起来，不仅对传统的数列题作了提升，又能发展我们的实践能力，拓展为我们的几何思维. 回到课本中的两个问题上.

题1解答

题2解答

通过观察、归纳不难发现着色三角形的个数、雪花曲线的边数和边长的生长规律. 但在一些综合性比较强的分形图案的生长问题中，仅仅通过观察和归纳还不足以确定其生长规律，也难以通过直接观察和归纳确定数列的通项公式. 但我们知道，通项公式的求解往往必须先研究数列的递推关系，因此解决这类分形图案生长问题的基本思路是寻找递推关系. 在何老师的帮助和指导下，我又接着探究了几个以分形为背景的数列问题.

探究1

探究2

分析

探究3

如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是           .

分析

有些题它只是表达的形式不一样，其实只要透过现象抓住本质，不同的表达形式，所要揭示的问题的实质是一样的. 初拿到该题让人有些摸不着头脑，但静下心来看，

每一个白点在下一行中都变成了黑点，每一个黑点都在下一行分成了一个黑点和白点. 这不禁让我想到了兔子数列，每对小兔子都需要一个月长大，并在长大后的每一个月生一对小兔子. 

其实这一题的实质是非常有名的斐波那契数列.

从图上很容易看出从第一行开始，实心圆点的数量是这样排列的：0,1,1,2,3,5,……. 对于每一个空心圆点，它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点，它到下一行可生出一空一实两个点. 

到第六行时，我们可看出，这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出5个实心圆点和五个空心圆点，另外三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行共有5+3=8个实心圆点. 

同理，下一行的实心圆点数为本行的所有实心圆点数加所有空心圆点数，为8+5=13.

这里有一个非常明显的规律：也就是这一列数从第三个数起，任一个数都等于它前面两个数的和. 因此结果很快可推知：

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610. 

故第16行的实心圆点个数为610.

探究4

分析

探究5

如图所示，是树形图形. 第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成135°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层. 设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度.

分析

结

语

雪花曲线、希尔宾斯基三角形、树形图的生长，螺旋线、纸板图形的绘制等等都是以分形图为背景的数列问题. 

而这些分形图案的生长和绘制问题，本质上都是研究数列的通项公式或求和问题. 

因此寻求递推关系是研究的重点和关键. 通过对以分形为背景的数列问题的研究，我有两点反思和感悟：

第一，观察和归纳是数学发现的重要方法，这个方法可以贯穿于整个数学学习之中，要善于利用“从特殊到一般”的数学思想方法研究数学问题；

第二，研究问题时，要能举一反三，反思总结研究一类问题的通法，不断在头脑中形成“解题模块”，这样才能不断提高自己的解题能力，提升自己的解决实际问题的能力. 

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