立体几何逻辑体系之四公理、三推论

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四公理、三推论

几何学是一座美丽的城市，要方便地游览城市的各个景点，就需要好的市内交通系统、交通工具．这交通系统和交通工具，也就是几何学的展开结构和解题方法．但要从外部到达这个城市，则往往要经由城市的大门、车站、机场．几何学的公理系统，好比是城市的大门、机场、车站．

                         ——《几何新方法和新体系》（张景中，科学出版社，2009）

接下来我们就从如下几个公理开始进入几何学这座美丽的城市．

公理是指经过人类长期反复的实践检验，不需要加以证明的基本事实；现代数学认为公理是对研究对象的性质的基本约定.

公理1

平面是立体几何的基本要素之一，具有平整、光滑、无限延展等特性

公理2

公理2有三个“著名”的推论，它们提供了确定平面的其他方式和依据．

推论是指简单明了地从一个或一些已知命题推出的新论断

推论1

推论2

推论3

注：以上证明开门见山地默认了两条平行直线是共面的，这是什么道理呢？下一节中，我们会讲空间中直线与直线的位置关系有且只有三种：（1）平行；（2）相交；（3）异面．其中，（1）（2）皆为共面直线，与（3）对立．如果有人问：为什么只有这三种呀？还有没有其他的？你说只有这三种，能不能证明给我看？这样的问题笔者无法回答，或许会有其他的位置关系，但显然已超出高中的讨论范围．笔者认为，空间中的位置关系是人们根据常识总结归纳并按逻辑原理划分出来的，无需证明．

      实际教学中，有些老师没有注意平行直线一定共面这一基本事实或想方设法地要绕过它——在直线a，b上分别取点A，B和C，D，然后根据公理2和推论1、2去论证直线a，b共面．这样的想法会遇到较大困难，最终或许会归结为欧几里得的第五公设，而无法给出一个简洁严谨的证明．

公理3

两平面相交，会产生一条交线，如何确定两个平面的交线呢？这可不是一件容易的事情．下面的三个问题皆与交线相关，涉及立体几何中的作图问题．“作图”其实也是学习几何的基本功，但在应试教育思想的影响下早已被“打入冷宫”了．

注：寻找两平面交线的过程实际是一个“扩展”平面的过程，运用了平面无限延展的特性．题目中的平面MNP“过小”，我们通过延长它的“边界线”来“扩大”它，使其与其他平面的交线一一展现出来．下图更加完美对称地呈现出平面MNP与正方体各个表面的交线，交由读者仔细观察、思考、证明、欣赏．

思考：用一个平面去截正方体，截面多边形可以是什么形状呢？请分别画图示意．

公理4

注：有老师在讲解此题时还喜欢追问“若AC⊥BD，则四边形ABCD是什么图形？”，其实不太恰当．因为按照逻辑顺序，现在还没讲“空间中两直线的位置关系”，学生也就不知道什么是“异面直线”，更不知道“两条异面直线垂直”是怎么回事，而AC⊥BD则恰恰是“异面垂直”．有老师不管这些，生硬追问，把“异面垂直”这种感觉（概念）强压给学生，效果不好．其实，后续追问的问题并不难，课堂上可不提及，等学过相关概念后学生就可自主处理，相信学生．

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