一起来玩：“悖论”的思维魔方
悖论：思维的魔方
（陈波教授在上海大学·东方讲坛的演讲）
思想者小传
陈波 1957 年生，北京大学哲学系/外国哲学研究所教授、博士生导师，专业领域为逻辑学和分析哲学。著有 《逻辑哲学导论》、《奎因哲学研究——从逻辑和语言的观点看》、《逻辑学十五讲》等，主编《分析哲学——回顾与反省》、《逻辑学读本》等，主译《证据与探究——走向认识论的重构》、《当代语言哲学导论》等，发表学术论文近 200 篇，学术成果先后获“金岳霖学术奖”、“北京市哲学社会科学优秀成果奖”、“教育部人文社会科学优秀成果奖”等。
什么是悖论？广义地说，“悖论”是指与公认的信念或看法相反的命题，或自相矛盾的命题，或荒谬的理论等。
最早的悖论可追溯到公元前 6 世纪古希腊克里特岛人埃匹门尼德，他提出了说谎者悖论的最初形式：“所有的克里特岛人都说谎。”若他的话为真，由于他也是克里特岛人之一，则他说谎，故他的话为假。若他的话为假，则有的克里特岛人不说谎，他可能是不说谎的克里特岛人之一，故他的话可能是真的。这被载入《圣经·新约》的《提多书》中，因而在西方世俗社会和学术界都很有影响。此后，对悖论的研究一直绵延不绝，至少经历了两个高峰期，一是欧洲中世纪经院哲学家对悖论的研究，一是从 19 世纪末叶一直延续到今天的悖论研究。
具体地说，“悖论”至少有以下 4 种含义：
（1）违反常识，有悖直观，似非而是的真命题，如所谓“无穷小悖论”和“伽利略悖论”。
（2）与公认的看法或观点相矛盾的命题或原则，似是而非，但其中潜藏着深刻的思想或哲理，如著名的“芝诺悖论”和康德的四个“二律背反”。
（3）从一组看似合理的前提出发，通过有效的逻辑推导，得出了一对自相矛盾的命题，它们与当时普遍接受的常识、直观、理论相冲突，但又不容易弄清楚问题出在哪里，这时我们称导出了悖论，如康托尔悖论、理查德悖论。
（4）从一组看似合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了一个由相互矛盾的命题构成的等价式，如“强化的说谎者悖论”和“罗素悖论”。
我本人对悖论持比较宽泛的理解：如果从看起来合理的前提出发，通过看起来有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称导出了悖论。关于悖论，我想指出两点：第一，悖论很好玩。它们已经成为某种形式的思维魔方，老少咸宜，构成智力的挑战，激发理智的兴趣，养成思考的习惯，孕育出新的创造性理论。第二，悖论又很难玩。精确地理解悖论，需要掌握一些相关学科的知识；解决悖论更不容易，因为悖论表明：
我们思维中某些最基本的概念出了问题，我们思维中某些最根本的原则遇到了麻烦。当试图消解悖论时，我们发现：它们牵一发而动全身，消解方案会产生很多意料不到的后果，有些后果甚至比所要消解的悖论更讨厌。这既是悖论的难解之处，也是它们的迷人之处。
下面我就和大家分享几组著名的悖论。
首先，我想谈谈有关上帝的二难困境。按一神教（如犹太教、基督教和伊斯兰教）教义，上帝至少有下列实质属性：
唯一性：只有一个上帝。
全能：上帝的能力是无限的。
全知：上帝是无所不知的。
道德完善：上帝是有爱心的、慈善的、仁慈的和正义的。
必然存在：不像世界以及其中的每一事物，上帝不会获得存在，也不会停止存在。
创造性：上帝创造世界并且维持它的存在。
人格：上帝不是一种纯粹抽象的力量或者能量的源泉，他有理智、理解力和意志。
从古至今，从来就不乏深刻的思想家对这样的上帝观念提出质疑和挑战。例如，在欧洲中世纪，有人对宣扬上帝全能的神学家提问：全能的上帝能不能创造一块他自己举不起来的石头？并做了下面的推理：
P1.如果上帝能创造这样一块石头，则他不是全能的，因为有一块石头他举不起来；
P2.如果上帝不能创造这样一块石头，则他不是全能的，因为有一块石头他不能创造；
P3.上帝或者能创造这样一块石头，或者不能创造这样一块石头；
C.所以，上帝不是全能的。
请大家想一想，上面的石头推理能够证明上帝不是全能的吗？回答恐怕是否定的。
假设问一个男人：“你已经停止打你的老婆了吗？”这是一个“复杂问语”，预设了“该男人过去常打老婆”，所问的只是“他打老婆的行为是否停止？”类似地，可以把这个问题置换成另一个更显然的问题：“上帝能不能做一件他自己不能做的事情?”在这个问题中，已经预先安置了一个逻辑矛盾：如果上帝真是全能的话，就没有一件事情是他自己不能做的；再问他能不能做一件他不能做的事情，若回答“能”，则意味着“有一件他不能做的事情”；若回答“不能”，似乎也意味着“有一件他不能做的事情”，这都等于说“上帝不是全能的”，都与“上帝是全能的”这个出发前提相矛盾。所以，该提问本身是不合法的，石头推理不能证明“上帝不是全能的”。
上面的分析似乎很有道理，但也可以有别的分析。石头推理的问题不在该提问本身，而在于前提 P2。若回答“上帝能创造一块他自己举不起来的石头”，确实预先假设了“有这样一块石头”；不过，若回答“上帝不能创造这样一块石头”，却没有预设“有这样一块石头”，因为我们可以解释说：上帝之所以不能创造这样一块石头，是因为对他来说根本没有一块他自己举不起来的石头，后者的存在违背了预先假定的上帝的全能性。既然石头推理的前提 P2 有问题，故该推理不成立，结论“上帝不是全能的”仍然推不出来。
值得注意的是：即使石头推理真的不成立，我们也仍然面对一些有意思的问题：如何想出别的方式去证明上帝不是全能的？如何去跟上帝的信仰者讲理？或者更一般地说，理性和信仰之间是什么关系？是像德尔图良（145—220 年）所主张的那样：“因为荒谬，所以信仰”，从而把信仰完全排除在理性的范围之外？还是像安瑟尔谟 （1033—1109）和托马斯·阿奎那（1224—1274）那样，尽可能在理性范围为信仰去辩护？这些问题在当代宗教哲学中得到了认真的思考。
早在古希腊时期，麦加拉学派就提出了如下三个疑难：
（1）秃头：头上掉一根头发算不算秃头？不算!再掉一根呢？也不算!再掉一根呢？还不算。
再掉一根呢？……因此，无论掉多少根头发，即使所有的头发都掉光了，也不会造成秃头。
（2）谷堆：一粒谷算不算谷堆？不算!再加一粒呢？也不算!再加一粒呢？还不算。再加一粒
呢？……因此，无论加多少谷粒，即使加 1 万颗谷粒，也不会造成谷堆。
（3）一整袋谷子落地没有响声：如果 1 粒谷子落地没有响声，2 粒谷子、3 粒谷子落地也没有响声，如此类推，1 整袋谷子落地也不会有响声。
这类疑难被叫做“连锁悖论”。
与它们类似的，还有“忒修斯之船”。
忒修斯是传说中的雅典国王，在当上国王之前，他曾驾船率人前往克里特岛，成就了一些英雄壮举。人们为了纪念他，一直维修保护那艘船。随着时光流逝，那艘船日渐破旧，人们开始是更换了船上的甲板，一直到最后更换了它的每一个构件。这时候，人们发出疑问：更换了全部构件的忒修斯之船还是原来那艘船吗？
“忒修斯之船”的悖谬之处在于：
（1）如果一艘船仅有部分构件被更换了，那艘船仍然是原来那艘船。
（2）如果一艘船的全部构件都被更换了，那艘船不再是原来那艘船。
（3）根据（1），如果我们每一次只更换那艘船的一个构件，在单次更换后，那艘船仍然是原来那艘船，直到最后一次更换时仍然如此。
（4）根据（2），到最后一次更换时，该艘船的所有构件都被换掉了，那艘船不再是原来那艘船。
（5）矛盾：被更换了全部构件的那艘船既是原来那艘船，又不是原来那艘船!
我想指出两点：
第一，连锁悖论给我们的教训是：微小差别的不断累积和放大，可以造成巨大的差别。试考虑三个数：0.9，1，1.1，后两个数与前面数的差别只有 0.1。若让每个数与自身连乘 10 次，0.9变成了 0.31,1 仍然是 1，1.1 变成了 2.85，它是 0.31 的近 10 倍，1 的近三倍。差距就是这样造成的!所以，每个人都必须当心生命过程中的每一步：小胜有可能积成大胜，小过有可能铸成大错!
第二，这类悖论与所谓的“模糊性”或“模糊谓词”有关。模糊谓词在日常语言中是大量存在的，如“大的”和“小的”，“高的”和“矮的”，“美的”和“丑的”，“富有的”和“贫穷的”等。我们通常所遵循的“排中律”、“二值原则”对于模糊谓词明显不成立。排中律说：对于任一个体 x 和任一谓词 F，x 或者是 F 或者不是 F；二值原则说：对任一语句 P，P 或者是真的或者是假的。我们通常所奉行的逻辑学、语义学和认识论都是以排中律和二值原则为基础的。但它们在像“秃头”、“谷堆”和“美丽的”等模糊谓词这里却遇到了麻烦：因为我们找不到确切的界限，去一刀两断地区分“秃头”和“非秃头”、“谷堆”和“非谷堆”、“美丽的”和“不美丽的”等。
这是否意味着：我们要去修改标准的逻辑学、语义学和认识论？修改或不修改的理由是什么？会带来哪些后果？关于这些问题产生了激烈的争论，使“模糊性”成为当代哲学中的一个热门话题。
古希腊哲学家芝诺曾提出 4 个关于运动不可能的论证，史称“芝诺悖论”，这里仅谈其中两个：
（1）二分法。假设你要达到某个距离的目标。在你穿过这个距离的全部、达到该目标之前，你必须先穿过这个距离的一半；此前，你又必须穿过这一半的一半；此前，你又必须穿过这一半的一半的一半；如此递推，以致无穷。由于你不可能在有限的时间内越过无穷多个点，你甚至无法开始运动，更不可能达到运动的目标。
（2）阿基里斯追不上龟。奥林匹克冠军阿基里斯与乌龟赛跑。乌龟先爬行一段距离，比如说 10 米。在阿基里斯追上乌龟之前，他必须先达到乌龟的出发点。而在这段时间内，乌龟又爬行了一段距离，比如说 1 米。阿基里斯又要赶上这段距离，而此时间内乌龟又爬行了一段距离比如说 1 厘米。于是，阿基里斯距乌龟越来越近，但永远不能真正追上它。
我要提醒大家，不要用常识和直观去反驳芝诺悖论。作为哲学家，芝诺肯定是聪明人，他不会否认感觉层面的运动。他所诧异的是：像运动这样神奇的事情是如何发生的？诚如恩格斯所言，芝诺悖论并不是在描述或否认运动的现象和结果，而是要说明和刻画运动如何可能的原因，即如何在理智中、在思维中、在理论中去理解、刻画、把握运动!
芝诺悖论还涉及一个更困难的问题：如何在思维中去理解和把握无穷？芝诺本人否认无穷数列和无穷量的真实性。他认为，如果你能表明某个东西涉及无穷，你就可以证明该东西不存在。
请注意上面“二分法”论证中关键的一步：“你不可能在有限的时间内越过无穷多个点”。确实，无穷有其奇妙和难解之处，它曾经困惑了一些时代最优秀的大脑。再举两例：
（3）伽利略悖论。通常认为,整体在数量上大于或多于部分。但伽利略发现，假如自然数序列无限延伸，自然数序列与其平方数的序列之间能够建立一一对应，即自然数与作为其中很小一部分的平方数一样多：
1, 2, 3, 4, 5, 6,… n,…
1, 4, 9, 16, 25, 36,… n2,…
伽利略对此现象迷惑不解，他和后来人在很长时期内不能给出合理的解释。
（4）无穷小悖论。17 世纪，牛顿、莱布尼茨各自独立地发现了微积分，其理论都建立在无穷小分析之上，但他们对无穷小的理解与运用却是混乱的，遭到了英国大主教贝克莱的猛烈攻击：
在牛顿理论中，无穷小有时候像 0，如做加项可以消去；有时候又不像 0，如可以做分母。贝克莱嘲讽说，无穷小量就像一个“飘动不居的幽灵或鬼魂”。这被叫做“无穷小悖论”，据称引发了“第二次数学危机”。
连大数学家希尔伯特也发出这样的感叹：“无穷!没有任何其他的问题曾如此深刻地触动了人类心灵；没有任何其他观念曾如此有效地刺激了人类理智；也没有任何其他概念比无穷的概念更需要加以澄清。”
前面提到的“罗素悖论”，由当时才 20 多岁的伯特兰·罗素在 1901 年发现。这个悖论只涉及“集合”、“集合的元素”等简单概念。可以用自然语言复述如下：
把所有集合分为两类：一是正常集合，例如：所有中国人组成的集合，所有自然数组成的集合，所有英文字母组成的集合。这里，“中国人的集合”不是一个中国人，“自然数的集合”不是一个自然数，“英文字母的集合”不是一个英文字母，故这类集合的特点是：集合本身不能作为自己的一个元素。二是非正常集合，例如：所有集合所组成的集合，所有抽象东西的集合。这里，“所有集合所组成的集合”也是一个集合，“所有抽象东西的集合”也是一个抽象的东西，故这类集合的特点是：集合本身可以作为自己的一个元素。现假设由所有正常集合组成一个大集合 S，那么 S 本身究竟属不属于 S？或者说 S 究竟是一个正常集合还是一个非正常集合？如果 S 属于自身，则 S 是非正常集合，所以它不应该是由所有正常集合组成的集合 S 的一个元素，即 S 不属于它自身；如果 S 不属于它自身，则它是一正常集合，所以它是由所有正常集合组成的集合 S 的一个元素。于是，得到一个结果：S 属于 S 自身当且仅当 S 不属于 S 自身。悖论!
1902 年 6 月，罗素给德国数学家兼哲学家弗雷格写了一封信，告知了这个结果。弗雷格立刻意识到问题的严重性，当即在他即将出版的《算术的基本规律》第二卷末加写了“跋语”，报告了这个悖论。
后来，罗素对这个悖论做了更通俗的表述：假设某村庄有一位理发师，他规定：给并且只给本村庄中不给自己刮胡子的人刮胡子。那么，他究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，按照他的规定，他不应给他自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，也按照他的规定，他应该给他自己刮胡子。由此得到悖论性结果：他给自己刮胡子当且仅当他不给自己刮胡子。这被叫做“理发师悖论”。但是，人们可以很容易找出摆脱此悖论的途径：或者这位理发师不是该村村民，他提出的规定对他本人不适用；或者是该村村民，则有两种可能性：他颁布了一条自己无法执行的规定，等于说了一句像“我能够拔着自己的头发上天”这样的疯话；或者，她是一位女士，不必给自己刮胡子。在其他悖论的情况下，常常不那么容易去否定导致悖论的某个前提或结论。故理发师悖论与“罗素悖论”无法相提并论。
还有许多类似的悖论，它们涉及逻辑学、集合论和数学的一些基本概念，如类、集合、元素、属于关系、基数、序数等，统称“逻辑—数学悖论”。
此外，还有一类“语义悖论”，这类悖论与许多语义学概念，如意义、指称、外延、定义、满足、真、假相关联。
如前所述，从埃匹门尼德所说的“所有的克里特岛人都说谎”为真，能推出它为假，但从它为假却不能必然推出它为真。公元前四世纪，有人将其改述为“强化的说谎者悖论”：一个人说了唯一一句话，即“我正在说假话”。可以推知，这句话是真的当且仅当它是假的。悖论!
说谎者悖论在当时就引起广泛关注。据说，科斯的斐勒塔潜心研究这个悖论，结果把身体也弄坏了，瘦骨嶙峋，为了防止被风刮跑，不得不在身上系上铁球和石块，但最后还是因积劳成疾而一命呜呼。
欧洲中世纪逻辑学家研究了说谎者悖论的许多变体。仅举一例——“明信片悖论”说明之。一张明信片的一面写有一句话：“本明信片背面的那句话是真的。”翻过明信片，背面的那句话是：
“本明信片正面的那句话是假的。”无论从哪句话出发，最后都会得到悖论性结果：该明信片上的某句话为真当且仅当该句话为假。明信片悖论可以扩展为转圈悖论，如：苏格拉底说“柏拉图说假话”，柏拉图说“西塞罗说假话”，西塞罗说“苏格拉底说假话”。苏格拉底究竟是说真话还是说假话？
初看起来，上面所谈到的这些悖论近乎一些违背常识和直观的“胡说八道”，好像一只猫咬着自己的尾巴乱转，最后把自己弄得晕头转向。那么我们为什么要关注和研究它们？我列出如下一些理由：（1）悖论以触目惊心的形式向我们展示了：我们的看似合理、有效的“共识”、“前提”、“推理规则”在某些地方出了问题，我们思维的最基本的概念和原则在某些地方潜藏着风险。揭示问题总要比掩盖问题好。（2）通过对悖论的思考，我们的前辈提出了不少解决方案，由此产生了许多新的理论，它们各有利弊。通过对这些理论的再思考，可以锻炼我们的思维，由此激发出新的智慧。（3）根据悖论的不断发现和解决去重新审视和叙述科学史和哲学史，不失为一种独特的视角。（4）对各种已发现和新发现的悖论的思考，可以激发我们去创造新的科学或哲学理论，由此推动科学的繁荣和进步。（5）更重要的是，通过对悖论的关注和思考，我们可以养成一种温和的、健康的怀疑主义态度，从而避免教条主义和独断论。这种健康的怀疑主义态度有利于科学、社会和人生。
让我们偶尔也玩一玩“悖论”这类思维的魔方吧，以锻炼智慧，提升境界，修养身心。
（作者根据 2012 年 4 月 20 日演讲录音稿修订，本报有删节）
解放日报/2012 年/8 月/18 日/第 008 版
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