对北京市2015年高考理综第24题的思考

胡继超老师和他的学生

本文发表在《物理与工程》2016年第1期。作者为中国人民大学附属中学的胡继超老师。

2015北京市高考理综第24题：

真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图1所示．光照前两板都不带电．以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出．假设所有逸出的电子都垂直于A板向B板运动，忽略电子之间的相互作用．保持光照条件不变．a 和b为接线柱．

已知单位时间内从A板逸出的电子数为N，电子逸出时的最大动能为Ekm，元电荷为e．

（1）求A板和B板之间的最大电势差Um，以及将A、B短接时回路中的电流I短．

（2）图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r．

（3）在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U．外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间内到达B板的电子在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为ΔEk．请推导证明：P＝ΔEk．

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）

此题标准解答如下：

（1）由动能定理，Ekm＝eUm，可得

短路时所有逸出电子都到达B板，故短路电流

（2）电源的电动势等于断路时的路端电压，即上面求出的Um，所以

电源内阻

（3）外电阻两端的电压为U，则电源两端的电压也是U．

由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能

设单位时间内有N′个电子到达B板，则损失的动能之和

根据电流的定义，此时电源内部的电流 42 35581 42 14939 0 0 3308 0 0:00:10 0:00:04 0:00:06 3308

此时流过外电阻的电流也是I＝N′e，外电阻上消耗的电功率

所以P＝ΔEk．

在本题中，题目所描述的实验装置可以看做是一个加以限制的理想光电池，有老师和学生对于本题第二问有疑惑，本文对第二问分析如下：

对于传统的电源来说：电动势数值上是把单位正电荷从电源负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力所做的功的大小．即：

而电源的内阻则是自由电荷在电源正负极之间移动时，表征电源内部材料对电流呈现阻力、损耗能量的物理量．不同类型的电源微观上产生电阻的本质各不相同．通常我们使用两种方法计算内阻阻值．第一种方法是根据能量关系，电源的内阻等于单位时间在内电路产生的焦耳热与电流平方的比值，即

第二种方法则是根据闭合电路的欧姆定律，电源的内阻等于内电路的电势降与内电路电流强度的比值，即对化学电池和电动机等线性电源来说，内阻按照这两个定义计算的结果是相同的．

实际计算中，如果使用第二种方法，经常会借助电源的U—I曲线．对于化学电池等线性电源，其路端电压U与电流I关系的U—I曲线如图2所示，两者呈线性关系，对于这种电源，由闭合电路的欧姆定律，可得：电源的开路电压数值上为电源电动势E的大小，开路电压与短路电流的比值即为电源的内阻r，本题所给的标准答案就是使用这种方法求解的．

那么对于光电池，当直接使用此光电池的U—I曲线来判断电源的电动势和内阻将得到什么样的结论呢？首先我们要确定光电池的U—I曲线是不是如图2所示的线性关系．

题目中，只是假设了所有A板逸出的光电子初速度的方向都是向着B板，并没有交代这些从光电池的A板逸出的光电子中，各种不同初动能的光电子个数占从A板逸出的总光电子数的比例．实验中，如果使用如图3所示的光电管，将光电管连入图4所示的电路，测得灵敏电流计的示数I与电压表示数U关系应如图5所示，图5中，加在光电管两极间的反向电压越大，则流过灵敏电流计的电流越小，这是因为当光电管加反向电压时，光电子由光电管阴极向阳极运动的过程中，两极间的电场力做负功，只有初动能大于｜Ue｜的电子才能到达阳极，形成光电流．所以，由图5中每一个反向电压值U所对应的电流I，可以求出每一秒由光电管阴极逸出光电子中，初动能大于｜Ue｜的光电子个数

从图5中我们可以分析出：光电管的阳极逸出的光电子的初动能既不是一个统一的最大值Ekm，也不是从零到最大值Ekm之间完全等概率分布的．而在下文的讨论中我们会发现图1装置中光电池的U—I曲线是和光电池负极逸出光电子的初动能分布概率有关的，要想使用光电池的U—I曲线计算电源的电动势和内阻，必须先知道逸出光电子初动能的分布概率．

在此，先讨论最简单的一种特殊情况：若所有光电子都以最大初动能Ekm从光电池的A板逸出．此时若外电路断路，光刚开始照射时，由于不断有光电子到达B板，使两板间的电压逐渐升高，而随着两极板间反向电压的增大，能够到达B板的光电子数量将会随之减小，当两板间的电压达到后，两板间的电压等于截止电压，此后B板上的电子数量将不再增加，可以等效理解为此时所有的光电子在无限接近B板时，在电场力的作用下，电子的速度减为零，然后又返回A板，此过程中，不再有光电子能够到达B板．

之后如果在AB两板间接入一个外电阻，由于B板不断的有电子通过外电阻导走，B板上电荷数量减少，于是就又开始有电子到达电源的B板，以试图维持B板总电量不变．每秒到达B板的电子数量肯定不能多于通过电阻导走的电子数目，也不可能多于每秒从光电池的A板逸出的光电子数量．当接入的电阻阻值（N为每秒从A板逸出的光电子数目）时，此时A极板每秒逸出的光电子数又由欧姆定律，当两极板间电压为Um时，从外电阻流过的电流所以每秒从B极板流经外电阻的电子个数，可见N′＜N．因此每秒从A板逸出的光电子中只会有个补充到B板，使B板的净电荷保持不变，两板间电压维持Um也不变，而另外N－N′个电子则会在两板间电场力的减速作用下，重新返回到A板．此时两板间路端电压U始终保持不变，光电池的U—I曲线如图6中的AB段所示．

而当两板间接入的电阻阻值时，若两板间电压仍为Um不变，从电阻流过的电流Ne，由于每一秒A板逸出的光电子数为N，所以每秒从B板流经电阻的电子个数 不可能大于A板每秒逸出的光电子数N的同时两板间电压不变．所以此时应该是每秒从A板逸出的所有光电子全部都到达B板，流过电阻的电流恒为Ne．由欧姆定律，此时两板间的电压U＝IR＝NeR，此光电池更似一个恒流源，两板间的电压随外电阻的减小而减小，两板间电压U和流过电阻的电流I关系如图6中的BC段所示．

由以上关系图我们不难看出，此电源的路端电压U与电流I关系为一分段函数．此处，并没有传统意义的恒定电动势和内阻．如果仅从此电源输出的U—I曲线来看，可认为当外电阻时，电源电动势恒为内阻r＝0；而当 时，电源相当于恒流源，电动势和内阻均为无限大.

那么此电源两极板间的电压和电流关系有没有可能是如图2所示的那种线性关系呢，我们再来讨论第二种特殊情况，所有A极板逸出的光电子初动能在零到最大值Ekm之间是完全等概率分布的，也即我们可以定义一个从A板逸出的光电子动能的分布函数，它的物理意义为：每秒从A板逸出的光电子中，初动能为Ek的电子数与总电子数N的比值，显然有：

若A极板逸出的光电子初动能Ek在零到最大值Ekm之间是完全等概率分布的，则f（Ek）为定值．此时，在两极板间接入外电阻R，设此时电路中的电流为I，则两板间的路端电压U＝IR．所有从A板逸出的光电子中，在从A板到B板的过程中，电场力需做负功Ue，所以初动能小于Ue的那些光电子都不能打到B板上，只有初动能大于Ue的光电子才能打到B板，从而在回路中形成电流，根据A板逸出光电子初动能的分布函数可知，共有个电子的动能大于Ek．此时有

解得：

式中 为一定值，相当于我们电源中的内阻r，显然只有在这种情况下，才有如图2所示的U—I曲线，即题目让我们求解的情况．此光电池只有在这种特殊的逸出光电子初动能分布规律下，才可等价于线性直流电源，如果不是这种情况，则电源的电动势和内阻数值都和外阻阻值有关，如前面讨论的情况1，所以，如果不对逸出光电子初动能情况进行介绍，是无法知道光电池的U—I曲线，也就无法求解电源的电动势和内阻的大小．对于此，高考题的命题人却非常隐晦的没有交代．

当然，这只是从该光电池的伏安特性曲线分析其电动势和内阻，如果我们按照电源电动势和内阻的定义，用把单位正电荷从电源负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力所做的功与电荷电量的比值来计算电动势，以电荷在电源内部移动时的焦耳热来分析电源的内阻又会得到不同的结论．

参考文献

[1]赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程电磁学[M].北京：高等教育出版社，2011．

[2]邱关源.电路[M].5版.北京：高等教育出版社，2006：5．

[3]李天应.物理实验[M].武汉：华中科技大学出版社，1992：12．

引文格式: 胡继超.对北京市2015年高考理综第24题的思考[J]. 物理与工程，2016，26（1）：26-69.

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