转动弹簧的微变形分析及其应用

2017-08-28 陈奎孚 物理与工程

本文作者：陈奎孚

本文发表在《物理与工程》2017年第4期。作者为中国农业大学理学院陈奎孚。

图1(a)所示的模型是物理教材和振动教材使用频率最高的振动系统^[1,2]。该系统在振动过程中,弹簧轴线无转动,因而弹簧变形与系统的描述坐标之间的关系就很简单。然而稍微复杂一点的工程问题中,弹簧轴线就可能有转动,比如图1(b)和图1(c)所示情形,因此工程专业的学生不能止步于教材中的经典例题。此外,一些有趣的特殊振动系统也要考虑弹簧轴线转动^[3-5]。

无论采用分离体的方法,还是采用能量法,振动分析都需要确定弹簧的变形量。但对于弹簧轴有转动的情形,变形量确定因几何复杂性而对学生有挑战性。本来这是技术问题,但是若该技术掌握不好,不仅导致分析速度的下降,更因分析的困难和近似因素取舍的纠结会使学生有挫折感,从而影响学生学习热情和信心。

弹簧轴有转动的情形一般是非线性的,但振动分析起码要得到工程最关心的固有频率,此时就要研究振动系统围绕平衡位置的微幅振动,这就退化为线性振动。此外,研究微幅线性振动也是进一步深入分析不可或缺的一环。

本文将针对微幅振动的特殊性,利用解析法和几何法两种方法导出弹簧微变形的近似表达式。该近似表达式可以消除学生在分析同类问题时的挫折感。最后通过3个例子演示近似表达式的威力。

1 解析法

假定弹簧不抵抗弯曲,因而弹簧总是直的。在振动过程中,弹簧的改变可分解为如下3种基本模式的组合(见图2(a)):旋转(AB➝CD)、平移和伸缩。3种模式中只有伸缩会改变弹性势能。我们来分析弹簧的伸缩量。

为了便于分析,把弹簧端点A和C重合起来,这样就可以构成一个△ABD,如图2(b)所示。图中β是AB 和BD之间的夹角;γ是AB和AD之间的夹角。

由正弦定理有

（1）

即

（2）

因此弹簧伸长量为

（3）

在微幅振动过程中,β和γ发生偏离平衡参数的微变化,即β=β₀+Δβ,γ=γ₀+Δγ,其中:Δβ 和Δγ均为微幅量;β₀和γ₀为平衡位置所对应的参数。作为近似分析,将式(3)微分近似有

即

（4）

注意系统在静平衡位置,AB和CD是重合的,即γ₀=0,故式(4)可进一步简化为

（5）

上式表明:δ近似式很简洁,且与Δβ无关。

β₀是在静平衡位置下的参数,但是如果只考虑静平衡一个位置,则BD=0,这使得β₀不确定。

但若从β=β₀+Δβ角度考虑,则β₀是β当Δβ→0的极限。当Δβ→0,对单自由度系统必有B→D,这样割线BD 的方向就趋近于B 的轨迹切线方向。因此β₀为AB与B点轨迹切向之间的夹角。当然,如果弹簧两个端点都有运动(如图1(c)中弹簧),则为相对于A 的轨迹(图1(c)中B 相对于A)。

2 几何法

上述推导过程几何意义不明显,难于记忆。下面介绍有几何意义的近似分析方法。图3中,弹簧用抽象的杆表示。在AD 上找到E点,使得AE=AB,这样就有δ=ED。

在△EBD 中:∠D =π-β -γ;∠EBD =β - (π/2-γ/2)。由正弦定理有

即得

即

在微幅情形下,cos(β+γ/2)与cosβ₀相差一个小量,而sin(β+γ)与sinβ₀ 相差一个小量,因此式(6)可变为

（7）

如果注意到了BE=2lsin(γ/2)与lγ 相差一个高阶小量,那么式(7)就是式(5)。

很多时候BD 的信息容易获得,那么对△EBD 再度使用正弦定理有

即有

再次使用γ 和Δβ为小量的假设有

（8）

式(7)和式(8)的推导过程仍然难于记忆。下面给出较为容易记忆的方法。作∠A 的角平分线交于图3中的BE 于F。因AB=AE 而有AF 垂直于BE。当γ→0时,AB 和AE 趋于平行于AF,因而△BED 趋近于∠BED 为直角的三角形。

在近似直角△BED 中,自然有

它们分别就是式(7)和式(8)。

注意:上述易记的几何法关键点是:以弹簧原长为腰作等腰三角形;此三角形的高和两腰在微幅振动下都近似垂直于底边;等腰三角形底边、伸缩量和弹簧端点位移近似组成直角三角形(弹簧端点位移为斜边)。

3 应用

例题1 如图4(a)所示,轮子可绕水平轴转动,对轮心的转动惯量为J。轮缘绕有软绳,下端挂有质量m,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平弹簧维持平衡。半径R 与a 已知。求微幅振动的固有频率p。

解圆盘转过θ 的分析示意见图4(b)。按照通常近似处理,重力只影响平衡位置,所以忽略重力的影响。系统的动能为

在图4(b)的AD 上找到E 点使得AE =AB。在近似直角△DEB 中,DB 为斜边。对微幅振动DB ≈aθ,因而弹簧伸长量

式中的静平衡位置参数β₀见图4(c),易知它为180°,故δ≈aθ。这样弹簧势能

对单自由度简谐振动有。将它代入机械能守恒

得到

例题2 图5(a)中的均质刚性杆,长l ,质量为m,杆处于铅垂位置为系统静平衡位置,此时弹簧为原长。求系统固有频率p。

解 AB 发生θ 角位移的分析见图5(b)。系统动能为

势能包括弹性势能和重力势能。选择杆竖直为重力势能和弹性势能的零势能点。重力势能

（9）

为求右边弹簧的势能,从FD′的延长线找到E 点使得FE=FD。在近似直角△DD′E 中斜边DD′≈θl/2是已知信息,因此弹簧缩短量

这样右边弹簧的势能

类似可得左边弹簧的势能。系统总势能

对单自由度简谐振动。将它代入机械能守恒

得到

例题3 图6(a)所示系统中,均质圆柱体质量为m,半径为R,只滚不滑,图示为静平衡位置,弹簧处于自然长度。求其固有频率p。

解此题解答可参考文献[6]。我们这里选择圆柱体的柱心C 的位移x 为系统广义坐标。系统动能为

图6(b)示意了圆柱心从平衡位置移动了x 时(圆柱转动角度ψ=x/R),右边弹簧长度的变化。弹簧端点BB′近似为PB ×ψ=2Rcos∠CBP ×x/R=2xcos(θ/2)(P 为静平衡位置时圆柱的瞬心)。这个关系也可从△BB′B″得到。B″是圆柱平移了x 后B 的新位置。显然BB″=x,而x。对微幅情形,。这样△BB′B″为近似等腰三角形。因此BB′ =2xcos∠B′BB″ ≈2xcos(90°-∠ABP)=2xcos(θ/2)。

在△BB′B″ 中,EB′ ≈BB′sin∠B′BE =BB′cos∠B′BH ≈2xcos (θ/2)cosβ₀。这里β₀是静平衡位置时的弹簧轴与B 轨迹切线的夹角。由图6(c)可知β_0R=θ/2。因此右边弹簧缩短量为δ_R=2xcos2(θ/2)=x(1+cosθ)=x(1+a/R)

这样得到右边弹簧的势能为

类似地可以得到左边弹簧的势能

由瑞利法可以得到固有频率

右边弹簧的压缩量也可按图7的方式确定。如果没有转动,那么连接点从B 运动到了B″(BB″=CC″=x)。圆柱发生纯滚动,所以C″B″又转到了C″B′位置,转角ψ=x/R。对微幅转动弦长B″B′就等于弧长,即B″B′≈ψ×R=x。在HB′延长线上找到E,使得HE=HB″,则EB′=HB″-HB′,在近似直角B″B′E 中斜边B″B′信息已知,利用式(8)有