费曼“疑难问题”初探

本文作者：徐湛

本微信版是2017年11月《物理与工程》期刊网络优先出版论文。作者为清华大学物理系徐湛教授。

《费曼物理学讲义第3卷》第13章13-8节处理的是散射振幅与束缚态能级之间的关系。在那里，费曼用解析延拓的方法得出：一维无限长晶格有缺陷而且F<0的时候会产生两个束缚态，能量分别为，其中取“–”号的那个已经在讲义中给出了，费曼问道：“正号表示什么呢？我们把求这个束缚态的能量和振幅作为一个疑难问题（puzzle）留给读者。”本文就试图回答这个“疑难问题”。

首先简单回顾一下《费曼物理学讲义第3卷》第13章前几节的内容。这一章以一维晶格为例介绍了固体物理中的主要概念。首先考虑的是一维无限长均匀晶格，这时哈密顿量矩阵的矩阵元是

其余的矩阵元为零，那么可以解得能量为

其中b>0是晶格常数，所以

这就是能带。然后假设n=0处有一个缺陷，因而变为

其余的矩阵元不变。对于散射问题（13-6节），在左方入射的情况下，假设

可以解得散射振幅为

因而散射几率为

注意：散射几率对于F>0（排斥性缺陷）和F<0（吸引性缺陷）是无法区分的。对于捕陷问题（13-7节），假设

可以解得κ需满足

由于κ,b>0，所以F一定<0，而捕陷态（束缚态）的能量是

不难发现

所以这个能量在能带以外并且在能带的下方。最后，在13-8节中，费曼把β的表达式写为

并且对根号进行解析延拓，也就是在

的时候写成

所以β变为

当F<0时，这个β会在

时出现极点，因此在

时出现束缚态。这里取“–”号的那个解已经前面得到了，费曼的“疑难问题”问的是如何解释取“+”号的那个解（它在能带上方）的物理意义。

对于这个问题，我们的回答如下。

1　另一个捕陷态

在有缺陷的时候，振幅的形式除去前面所假设的以外，还可以假设为

它也可以写为

就是说，它是从散射中心以波矢量k=±π/b向外传播并同时以指数形式衰减的波。代入能量本征方程，对于n≠0,±1得

对于n=±1得

所以

再代入n=0的方程得

与比较，发现κ要满足条件

与前类似地，由于κ,b>0故F一定>0。由

和

就得能量为

这正是在前式中取“+”号的那个能级。但是，与这里的条件F>0不同，在13-8节中费曼考虑的是F<0的情形，那么，在F<0的时候有这样的解存在吗？

2　一维无限长晶格含一个杂质情形的全部解

首先，对于n≠0总成立方程为

所以

要让这个式子对任何n≠0成立，显然可以假设

和与n(≠0)无关。考虑到n=0是分界点，可以假设

，它们都满足

所以现在

其中两个系数相等是由n=±1的方程决定的。为了使n→±∞时有界，要求

记

那么|α|≤1导致

β≥0

同时

而它必须是实数，所以

这包含了3种情形：和，也就是说是在单位圆上或者在单位圆的实轴直径上但挖去圆心。以下分别进行分析：

(1) β=0，所以

，这就是能带内的能级（只不过原先把

记做了kb）。此时F的值（包括它的正负）完全不影响能量，只决定了c和之间的关系。事实上，从n=0的方程

可得

(2) =0，所以

，这就是在能带下方的那个束缚态的能级，把它代入n=1的方程得，而n=0的方程成为

所以它在F<0时出现。

(3) γ=π，所以,

，这就是在能带上方的那个束缚态的能级，把它代入n=1的方程仍然得，而n=0的方程成为

所以它在F>0时出现。

这样看来，只要和与n(≠0)无关，上面的解就是满足波函数有限条件的全部解而没有遗漏，但是其中没有F<0而

的解。显然，它只能出现在满足一种复杂的递推关系但仍然保持=常数(n≠0)的时候。有这种可能性吗？

对于n>0的那些系数（n<0的分析也类似）记

那么前面的方程就是

由此很容易发现和决定了全部的

。特殊地说，如果取

甚至任意两个邻近的，那么全体，而这正是前面分析过的情况，所以例外只能发生在（因而全体都不相等）。方程

可以改写为

一定<1，假设都是正数，那么就有

更一般地，有

因而

这意味着数列的相邻两项之差（只要这个差≠0）随着n的增加会被一步一步地放大，这将使这个数列根本不收敛。这种情形在物理上是应该排除在外的。

3　对散射振幅解析延拓的再分析

根据上述，我们并没有发现F<0的时候有取“+”号的解，这使我们对费曼所做的解析延拓是否恰当产生了怀疑。

让我们把散射振幅再次写出，

费曼把那个根号一股脑儿地做延拓，这是有问题的，因为那个根号的里边是能量的二次式，它和能量本身并非一一对应。正确的做法是把这个二次式做因式分解，写为两个一次式的乘积，即

对于分母上的那两个根号，要在不同的能量区间内做不同的延拓。当的时候需要延拓，即把

写成

，所以散射振幅变为

它的极点是

这在F<0时出现，所以

本来这个方程的解是，但注意这个延拓的前提是，所以只有

是真的解。反之，当时

需要延拓，即把

写成

。注意：这里在根号前面加的是“–i”而不是“i”，这是因为原来在根号里边的是“–E”而不是“E”。事实上，从解析延拓的角度看来，对E来说这二者做的是相同的逆时针方向的延拓，这就保证了方法的自洽性。所以现在散射振幅变为

它的极点在

这在F>0时出现，所以

这里在根号前只取“+”号也是因为这个延拓的前提条件是。这样进行的解析延拓，一方面更加自洽，另一方面也和直接计算的结果相同。

所以总括起来我们可以说：费曼所说的那个取“+”号的束缚态能量确实是唯一存在的，但条件是F>0而不是F<0。这就是我们对费曼的“疑难问题”给出的解答。

参考文献

[1]费曼R.P.,莱登R.B.,桑兹M..费曼物理学讲义第三卷[M].本书翻译组，译.上海：上海科学技术出版社，1989.

[2]Feynman R P, Robert B.Leighton, Matthew L.Sands, The Feynman Lectures on Physics Volume Ⅲ[M]. Commemorative Issue, Pearson Education, Inc., Publishing as Prentice Hall Inc., 2004.

引文格式:  徐湛. 费曼“疑难问题”初探[J]. 物理与工程，2017，27（6）：优先出版.

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