正则动量面面观

本文作者：徐湛

本文发表在《物理与工程》2017年第5期。作者为清华大学物理系徐湛教授。

提起粒子的动量p这个概念，人们的第一反应通常就是p=mv，但这并不总是对的。对于带电粒子在磁场中运动的情形，动量的概念要复杂得多。在系统中添加磁场是基础物理和应用物理中经常使用的手段，甚至可以说现代物理的大部分热门和前沿课题都离不开磁场，而磁场的出现使动量的概念变得非常微妙。有鉴于此，本文试图对这个问题进行比较深入的讨论。

1  经典力学： 带电粒子在磁场中的3种动量

对于带电粒子在磁场中的运动，首先想到的当然是它的运动方程。假设粒子的质量是m，电荷是q，空间中的稳恒磁场是B (r )，那么熟知它的运动方程是

(1)

其中称为洛伦兹力。但是问题并不止于此。由于运用分析力学的方法可以更深刻地认识系统的守恒量，尤其是以后还要发展到量子力学，所以我们再问：从最小作用量原理^[1]出发，什么样的拉格朗日量的欧拉方程恰好就是上面的方程？这个问题的答案是

(2)

其中A(r )是磁场B(r )的矢量势^[2]，它的旋度给出了磁场

(3)

通常还假设它满足规范条件（橫场条件）

(4)

证明如下。现在欧拉方程是

其中i , j =1,2,3(=x,y,z)并且对j 求和。在此式中取i =1，那么

对于i =2,3也类似，这表明欧拉方程是

再注意到式(3)，它正是方程(1)。现在问题来了：这时的正则动量p是什么？按照分析力学的正则动量的定义^[1]，它是

(5)

即是在mv 之外多了一项qA。通常称mv 为机械动量，qA为电磁动量，而正则动量p是二者之和。显然，产生这个区别的根源在于洛伦兹力与粒子的速度有关。

再过渡到分析力学的哈密顿形式（亦称正则形式），系统的哈密顿量是拉格朗日量的勒让德变换，即

(6)

注意： 哈密顿量要以正则坐标和正则动量为独立自变量。用这个哈密顿量写出的正则运动方程

就分别是式(5)和式(1)。在这里特别要强调：无论是拉格朗日量还是哈密顿量，用来表征磁场的都是矢量势A而不是磁场强度B。此外，注意到，所以哈密顿量（其物理意义是系统的能量）在数值上其实就是，即粒子的动能。由于洛伦兹力永远和速度垂直因而永远不做功，所以这个结果是不难理解的。

从正则运动方程很容易看出系统的对称性与守恒量之间的关系：如果哈密顿量和某个正则坐标q_i无关（这样的坐标被称为循环坐标），那么与q_i共轭的正则动量p_i就是守恒量，因为

这里必须避免两个误解。第一个是把系统的对称性认为是磁场的对称性（比如磁场在平移、旋转等等操作下不变），但事实上哈密顿量里出现的不是磁场而是矢量势，所以系统的对称性指的是矢量势的对称性，不是磁场的对称性。第二个是把守恒量当成机械动量，但事实上守恒的是正则动量，它在机械动量之外还要再加上电磁动量。实践表明，这两个误解经常出现，有时候连学过高等物理的人也难以避免。

最后一个问题是规范变换不变性。熟知若矢量势A受到规范变换

(7)

其中α是任意函数，那么磁场B并不改变：

(8)

所以运动方程也不改变。从拉格朗日量的角度说，在A的规范变换下它增加了一项对时间的全导数项，与原来的拉格朗日量虽然不相等但却是等价的，而从哈密顿量的角度说，它在A的规范变换下完全不变。这就是理论的规范变换不变性。但是必须注意，这时正则动量是要变的，因为它的变换是

(9)

也就是说正则动量并不是规范不变量，所以它不是可观察量。这使我们处在一个微妙的境地：当粒子在磁场中运动时，机械动量是我们实际观察的，而正则动量虽然是基本的动力学变量却不是可观察的。这是理解正则动量概念的困难所在。

2  带电粒子在匀强磁场中的平面运动

现在考虑一个最简单的例子。设沿着+z轴方向有一个匀强磁场

(10)

而带电粒子被限制在xy 平面内运动。熟知这时粒子的运动是匀速圆周运动（同步回旋运动）。假设圆的半径是R，粒子运动的角速度（圆频率）是ω_c，那么运动方程就是

所以

(11)

也就是说，ω_c只取决于粒子的荷质比|q|/m和磁场强度B，这个频率称为同步回旋频率。当然，粒子运动轨道的半径R、圆心位置C和运动速度v是由初始条件决定的。至于粒子在轨道上的转动方向，用矢量叉积的右手螺旋法则不难定出：从xy平面的上方向下看，q>0时粒子顺时针旋转，q<0时逆时针旋转。

为了更深入地理解这个运动，让我们看看粒子的3种动量。首先要为磁场B选择一个矢量势。不难证明可选

(12)

这是因为

而且

这称为矢量势的对称规范。因而哈密顿量成为

(13)

这个哈密顿量显然是绕z轴旋转（也就是在xy平面上绕原点旋转）不变的，所以粒子角动量的z分量是守恒的。问题是哪个角动量？是机械角动量吗？不是。应该是正则角动量。注意，粒子运动轨道的圆心可能在平面上的任何一点，而如果圆心不在原点，它的机械角动量的z分量显然不是常数。下面我们来证明：无论粒子的运动轨道的圆心在哪一点，粒子的正则角动量的z分量是守恒的。为确定起见，假设粒子就是电子即q=-e (e>0)，因而是逆时针旋转的，轨道的圆心在r_c，半径是R，那么根据前面的分析，电子的运动是

所以机械动量的分量是

电磁动量的分量是

因而正则动量的分量是

由此可知正则角动量的z分量是

它的确是常数。此外还有一件有趣的事情：按照通常的理解，当粒子做逆时针转动时，它的角动量的z分量是大于零的，但是现在我们发现：如果r_c>R，l_z是小于零的。其原因在于：粒子的机械角动量的平均值总是大于零的，并且与r_c的位置无关，但电磁角动量的平均值总是小于零的，并且随着r_c离开原点而变得越来越大，到后来就会压过机械角动量而成为正则角动量的主要成分。这向我们提示了正则动量和机械动量有重要区别，在某些条件下，它们甚至可能有完全相反的特征。

前面还提到：正则动量依赖于规范的选择。所以，“正则角动量的z分量守恒”这个结论，其实只在对称规范下才成立，如果换一个规范的话，守恒量就是别的量了。比如我们重新选择所谓的朗道规范

(14)

不难证明它也满，那么哈密顿量就变为（也是对电子）

(15)

显然，这个哈密顿量不再具有旋转不变性，而是变为具有x方向的平移不变性（哈密顿量与坐标x无关），因而正则动量（不是机械动量）的x分量是守恒的。验证如下。粒子的运动仍然如前，所以它的机械动量还是一样，然而电磁动量变为

因而正则动量的x分量是

它的确是常数。在粒子的圆周运动中却存在着守恒的线动量，不能不说是非常新奇的事，而这也来自于正则动量不同于机械动量。

通常来说人们习惯的认识是：确定的运动有确定的守恒量。然而这个例子告诉我们：对于磁场中的带电粒子，尽管粒子的运动是完全确定的，守恒量却会随着规范势的不同选择而改变。这使我们运用守恒定律时必须特别小心。

3 量子力学： 正则动量算符和几率流

然后我们从经典力学的正则形式（哈密顿形式）过渡到量子力学。熟知经典力学的“正则量子化”规则就是把正则动量p变成算符

(16)

所以哈密顿量也变成了算符（仍然是对电子）

(17)

如果矢量势A满足规范条件(4)，则哈密顿量算符也可以写成

(18)

问题是： 在经典力学里，我们是通过机械动量和电磁动量来理解正则动量，而量子力学的情况却倒过来了：我们的出发点就是正则动量，那么机械动量体现在哪里？为了回答这个问题，我们先写下相应的薛定谔方程：

(19)

其中Ψ(r,t)是波函数，所以

取复共轭得

根据玻恩对波函数的几率解释，ρ=|Ψ |²=Ψ ^*Ψ是坐标几率密度，从以上两式可得ρ对时间的变化率为

若记

(20)

就有方程

(21)

这表达了几率守恒，其中j 应理解为坐标几率流密度。众所周知，在电荷守恒的情况下，如果空间电荷密度是ρ，电荷平均速度是v，那么电流密度就是j =ρv。把这里的情况与之对照，可以把式(20)重写为

(22)

其中，既然ρ=Ψ ^*Ψ，所以不妨认为粒子的“速度算符”是

(23)

它就是经典关系mv=p+eA的量子力学对应。当然，只有把这个算符和波函数结合起来（也就是通过(22)式），我们才能理解它的涵义。还要注意的是：在量子力学里，“粒子的轨道”这个概念已经失去了意义，所以，即使我们对给定的波函数算出了粒子的几率流密度，它也只能定性地和粒子的经典运动进行比较。

对于前面所举的例子即电子在匀强磁场中的运动，在对称规范的情形下，哈密顿量算符是

(24)

不难发现

(25)

所以正则角动量的z分量是守恒量，这和经典物理的结论一致。因此可以取定态同时是的本征态，也就是说在平面极坐标系(r,φ)中，定态波函数可以写为分离变量的形式：

(26)

它对应的的本征值是。熟知此时电子的能级（称为朗道能级）是

(27)

其中ω_c=eB/m 就是同步回旋频率，但是这些能级是无穷度简并的（对于无限大平面），比如对于基态(n=0)，就有无穷多个波函数

(28)

（是归一化因子）给出相同的能量。注意现在全体，但它是正则角动量而不是机械角动量的分量的值。在极坐标系中，∇算符是

对称规范的矢量势在xy平面内也可以写为

所以对于式(28)的波函数，(22)式的坐标几率流密度j 的正则动量部分是

由于M≤0，所以它是逆着e_φ方向的，而电磁动量部分是

它是顺着e_φ方向的，二者之和是

尽管M≤0，足够大的u 总可以使u²+M>0，即粒子的几率流顺着e_φ的方向。这和粒子的经典运动图像是一致的。

如果取朗道规范，那么哈密顿量算符是

(29)

这时

(30)

即是守恒量，也和经典物理的结论一致。波函数的分离变量形式现在变为

(31)

其中p_x代表算符的本征值，把它代入薛定谔方程，知Ф(y)需满足

(32)

这正是在y轴上固有频率为ω_c的线性谐振子的薛定谔方程，只不过势能曲线的对称轴是y=y₀，所以我们仍然得到式(27)给出的能谱，但能级的简并变成了不同的p_x值。现在基态(n=0)的波函数变为

(33)

（C′是归一化因子），因而几率流密度j 的正则动量部分只有x分量，其值为

j 的电磁动量部分也只有x分量，其值为

二者相加给出

当y>y₀时j_x<0，粒子的坐标几率流朝左，而y<y₀时j_x>0，坐标几率流朝右，这也和粒子的经典运动图像是一致的。

4  量子力学理论的规范不变性

在量子力学里，正则动量的算符表示总是，与矢量势的选择无关，但我们不能因此就说量子力学里的正则动量是规范不变量。事实上，在量子力学里，物理量的测量结果不仅仅与代表它的算符有关，而且和波函数也有关。所以我们还要问：在规范变换下，波函数怎么变？可以证明，为了保证理论的规范不变性，当规范势受到变换A→A′=A+∇α的时候，波函数要受到变换

(34)

这称为波函数的规范变换。可以从两个角度理解它的合理性。粒子几率流的正则动量部分是，当波函数受到规范变换的时候，它的变换是

这和式(9)p→p′=p+q∇α相对应。此外，薛定谔方程是

(35)

对这个方程进行规范变换，即是把其中的Ψ 和A 换成Ψ ′和A′，则左方变为

右方变为

因此仍然有

(36)

即是薛定谔方程在规范变换下不变，所以量子力学理论是规范不变的理论。

5  关于磁镜装置的讨论

磁镜是利用磁场对等离子体的运动进行约束的装置^[3]，图1（取自文献[3]）是一种比较典型的磁镜。两个同样的通电圆线圈同轴地放置，因而产生了两头强中间弱的磁场，这种磁场就可以把在其中运动的离子在强磁场处反射回去，如同镜子反射光线一样，所以被称为磁镜。利用正则动量的概念，我们对它的工作原理分析如下。

由图1可知在磁镜装置的轴线(z轴)附近，采用柱坐标系(ρ,φ,z )，磁场B是

(37)

由于B 要满足∇·B=0，所以B_z和B_ρ必须满足

由此可知

因而磁场的分布是

(38)

其中B(z)(>0)是已知函数（文献[3]中有式(37)但并未给出式(38)）。那么什么样的A可以给出这样的B？利用柱坐标系中的旋度公式

不难证明可以取

(39)

由于这个A与时间 t 无关，也与角度φ无关，所以离子的动能和它的正则角动量的z轴分量都是守恒的，即有

(40)

和

(41)

其中离子的运动由ρ (t ),φ (t ),z (t )描写，v_ρ≡dρ/dt, v_φ≡ρ(dφ /dt ),v_z≡dz /dt，离子的电荷q>0。在分析力学中，这样的守恒方程被称为运动方程的一次积分。其实，即便不引入正则动量的概念，式(41)也可以藉运动方程m(dv /dt )=qv ×B的柱坐标形式

(42)

(43)

(44)

直接导出（文献[3]没有引入矢量势A，也没有写出完整的离子运动方程，因而没能给出式(41)）。由于离子在磁场中的回旋运动非常之快，当它完成一周的回旋运动时在z方向上只移动了很小的距离，所以我们可以对它应用绝热近似，即假设离子的回旋频率（参见式(11)）完全由当地的磁场所决定，这样就有

(45)

把它代入式(42)中，就得到

(46)

由此可知v_ρ=常数。但文献[3]的式(2)未说明理由就取了v_ρ=0，未免过于武断。实际上，从图1也可以看出v_ρ是不等于零的。与此同时，两个一次积分也分别变为

(47)

(48)

由(46)—(48)式可以看出，一旦函数B (z)和初始条件(即ρ,φ,z；v_ρ,v_φ,v_z的初始值)给定(比如说让离子的初始位置在z=0的平面上，v_ρ0,v_φ0<0,v_z0>0)，我们就可以完全解出离子此后的运动ρ(t)，φ(t)，z(t)（这称为可积的问题），求解过程就不细写了。对我们的目标而言，重要的是从式(47)可知ρ²B=c₁(常数)，而式(45)给出v_φ²=(q²/m²)ρ²B²=(q²/m²)c₁B，所以在离子朝右方运动的过程中总有

(49)

这个式子与文献[3]中的式(8)是一致的。另一方面，式(48)又给出了v_φ²+v_z²=常数=v_φ0²+v_z0²，所以，当B(z)的值增大到

(50)

的时候，离子运动到那一点就有v_z=0，因而不再向前运动了。这就是磁镜装置的基本工作原理。式(50)和文献[3]的最后结果（即它的式(10)）是一致的，但这里的分析更严格，补充了一些它没给的式子，还指出了它的某些式子实际上是错的。

参考文献

[1]周衍柏. 理论力学教程[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2009.

[2]郭硕鸿. 电动力学[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2008.

[3]张琳,蔡莉莉. 磁镜原理及其在磁约束中的应用[J]. 物理与工程,2013,23(3): 16-18.

Zhang Lin, Cai Lili. Principle of magnetic mirror and its application in magnetic confinement[J]. Physics and Engineering, 2013, 23(3): 16-18. (in Chinese)

引文格式: 徐湛. 正则动量面面观[J]. 物理与工程,2017(5):3-9. 

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