Alpha收益的可持续来源及风险平配原理
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Alpha收益的可持续来源
在实务界，基金经理常常根据CAPM模型和最大化夏普比率（Sharpe Ratio）的原则来构建和调整资产组合。但是默顿教授认为在真实的世界里，除了经典理论模型刻画的系统性风险（β）之外，不同的投资者还面临其他不同种类的风险。较为典型的例子是，因为退休工资收入大多采取储蓄的方式保值，退休员工面临着较大程度的利率风险。
CAPM模型原始表达式为，应用于实证检验则是以下形式：
由此可知一种资产的收益率中超过期望收益
现实中，基金经理的投资管理过程如下：
Alpha收益的传统来源主要包括两个方面：一是在宏观层面实现正的Alpha收益，即通过择时策略，在不同的资产大类之间分配投资比例；二是在微观层面实现正的Alpha收益，即在市场非强势有效的前提下，通过套期保值或者套利策略，利用基本面分析、技术分析、预测汇率变动和私募股权等事件来探寻正的Alpha收益。以上两点Alpha收益的实现，都需要基金经理搭建更有效的投资模型或者拥有高质量的信息来源。但是默顿教授指出，除了这些传统来源，超额收益还有其他来源，如下：
1. 金融服务差异引致的Alpha收益
不同的个人投资者和机构投资者分别有不同的投资约束，比如杠杆上限、融资成本、投资价格和政府管制程度等。基于此，投资技能高超的专业人士可以识别出不同投资机构的相对竞争优势，识别出受到投资约束影响而偏离于内在价格的资产，最终通过有效的投资策略和投资结构为资金提供者实现了正的Alpha收益，进而获得较高的利润回报。默顿教授指出很多因素有利于实现金融服务差异引致的Alpha收益，比如良好的市场信誉、较长的投资期限、灵活的流动性需求、广阔的资产池、威望和商誉等。
2. 多维度Alpha
在CAPM模型中，我们假设所有投资者的效用函数均为均值-方差形式。根据两基金分离定理，投资组合中的风险资产均是市场组合，唯一的差异在于每个投资者在市场组合和无风险资产之前的分配比例有差异。但是在现实中，投资者还可能利用金融工具来对冲其他维度的风险（比如前面举例说明的退休员工）。此时，投资组合的构建不再仅仅依据CAPM模型，投资者对风险资产的选择也不再限于市场组合这一范畴，这意味Alpha存在，这与完全竞争市场和有效市场的前提条件相一致，并不冲突。这些Alpha长期是可持续的，因为它们反映了投资者愿意支付风险溢价来避免这些风险。
默顿教授将这些对应风险溢价的风险收益定义为“多维度Alpha”。不同的投资理论模型会提出远远多于一个的α和β。典型的例子是Fama-French三因素模型指出实证结果中，仅根据股票市场的beta值不能完全解释不同股票超额收益率的差异，而上市公司的市值规模、基本面因素中的账面市值比和市盈率可以解释超额收益率的差异。Fama 和 French认为，上述三维风险溢价，恰是对传统CAPM模型中β未能反映的风险因素的补偿。
风险平配的八十年检验
本部分整理自Eight Decades of Risk Parity，由Marlena I. Lee在2011年工作于Dimensional Fund Advisors LP 期间所著。基于均值方差模型的不足，PanAgora基金的首席投资官Edward Qian博士提出了著名的风险平价(Risk Parity)策略，即选择一定的权重使得不同类别资产的波动率对整个投资组合的波动率有相等比例的贡献。这一思想被桥水基金（Bridgewater）成功运用于实际投资中。本文结合理论和19世纪以来近百年的数据对风险平配方法的理论与实践进行了探索，发现风险平配投资组合的夏普比率并没有显著高于60/40投资组合的夏普比率。风险平配组合并没有实现风险分散的优化，组合超预期的收益大部分源自利率下行和债券价格走高的宏观经济趋势。
一、风险平配的定义和理论含义
风险平配（risk parity）是资产大类配置的备选方法，特点是选择一定的权重使得不同类别资产的波动率对整个投资组合的波动率有相等比例的贡献。
假设资产i在组合中权重为wi，资产i和资产j的协方差是σij，资产i对组合的波动率贡献记为Ci，则：
以两种资产的投资组合为例，资产1和2的波动率贡献分别为：
令C1=C2，得到风险平配权重满足：
由此可见资产1和2的风险平配权重和波动率的倒数成正比。这个结论可以拓展到有N种资产的组合中，但是前提是协方差矩阵为对角矩阵。换句话说，如果不同资产之间相关性为0，则：
由此可知，风险平配投资组合里，低波动的资产有更大的权重。需要注意的是，如果将整个投资组合的波动看成一块蛋糕，那么风险平配旨在解决如何分蛋糕的问题，并没有解决整块蛋糕的大小问题。风险平配组合调整资产权重，直到不同资产的波动贡献相等之后，再运用杠杆来调整整个投资组合的波动率水平。
风险平配组合的主要目标是实现更大的夏普比率。市场上部分投资者关心收益率波动之外的风险（这与上一篇推送《Alpha收益的可持续来源》也有联系），这会导致最大化夏普比率达到的组合与最优投资组合有出入。但是这里作者暂时没有考虑这种特殊情形，而是在一定的前提下，将最大化夏普比率作为均值-方差型效用的投资者的主要目标。
二、研究背景和样本选择
风险平配理论的拥趸者认为根据风险平配构建的投资组合可以实现比传统的60/40投资组合（含义是60%投资于债券，40%投资于股票）更高的夏普比率，但是这篇文章持有不同观点。Marlene I. Lee 认为这一发现是样本选择的结果，因为传统研究的时间区间大多开始于19世纪80年代，当时美国利率持续下行（如图1所示），债券价格持续走高，恰是这个原因导致了债券和债券比重较大的风险平配组合有更好的市场表现。为此，作者用了19世纪以来近百年的数据进行了样本外检验，发现在最近的81年（截止于2011年）里，风险平配投资组合的夏普比率并没有高于60/40投资组合的夏普比率。
图 1 十年期国债利率的走势
数学上仅能证明当组合只有两种资产或者组合内N种资产无相关性时，风险平配组合中各种资产的权重和对应的波动率成反比，此时，这些风险平配权重也使得整个投资组合的夏普比率到达最大值。但是现实中，资产之间的相关性是不可忽略的因素，对于这种情形，数学理论无法证明风险平配组合一定能实现高于60/40组合的夏普比率，所以作者用Dimson Marsh Staunton Gloabal Return Data（DMS）数据库中1930年到2010年的数据，从实证检验的角度展开讨论。整个样本被分为三个时间段，分别为1930年-1955年，1956年-1981年和1982年-2010年（如图2所示）。资产间的协方差是利用滚动时间窗口（30年）的方法估算的，样本中每个国家的风险平配权重按照年度频率调整。
图2 通胀走势图
表1 比较了风险平配组合和60/40组合的收益率表现。因为风险平配组合投资于股权的比例更低，所以收益率和波动率整体来看都低于60/40组合。同时，19个样本国中只有7个国家（少于一半）的风险平配组合的夏普比率高于60/40组合的夏普比率，对于大部分国家和全球范畴，两种组合的夏普比率较为接近，这也一定程度验证了作者的猜想。
表1 风险平配组合和60/40组合的比较
表2 说明仅仅在1930-1955这个通胀严重的子区间上，风险平配组合的夏普比率高于60/40组合的夏普比率。再一次验证了作者的设想，即并不是依据风险平配理论构建的投资组合可以实现更高的夏普比率，而是因为对应区间内的经济走势表现为通胀和利率走低。
表 2 子区间上风险平配组合和60/40组合的比较
考虑到无杠杆的风险平配组合可能因为风险偏低而造成收益偏低，会影响60/40组合的可比性，作者又对有杠杆的风险平配组合和60/40组合进行了对比。作者假设投资者可以按照政府票据的利率（近似于无风险利率）加杠杆，将无杠杆的风险平配组合的波动率提升到与60/40组合的波动率持平，再比较不同组合在相同波动率下实现的收益差异，如表3所示。
表 3 杠杆风险平配组合和60/40组合的对比
表3 可以看出，即使加杠杆，风险平配组合对夏普比率的提升在截面上依然不具有稳健性。
上述检验是研究的主体部分，此外作者还提出会影响结论的一些缺陷和未来进一步的研究方向。比如，这篇研究的资产大类只考虑了股票指数和政府长期债券，没有考虑实务中惯用的TIPS和商品资产等；对股票资产大类，本文只选用了市场指数，忽略了小规模公司和价值型公司可能有更高夏普比率的影响；研究没有考虑税收成本和杠杆成本，也没有考虑其他种类的风险，比如交易对手违约风险和流动性风险等。
总体来看，作者用19世纪以来近百年的数据进行了样本外检验，发现风险平配投资组合的夏普比率并没有显著高于60/40投资组合的夏普比率。在1930年到1955年这个区间内，风险平配组合的夏普比率与60/40组的夏普比率较为接近，甚至略微高于60/40组合。这并不是风险平配组合实现了更大程度的风险分散，而是因为当时利率下行，而风险平配组合中的债券比例显著高于60/40组合中的债券比例，债券价格的走高导致风险平配组合产生超过预期的收益。在1956年到1980年这个子区间内，因为利率水平回升，风险平配组合的夏普比率反而比传统60/40组合的夏普比率更低。
根据Black-Litterman模型构建投资组合的经济学直觉
马科维茨的投资组合优化理论有两个投资目标——最大化期望收益和最小化风险。尽管在学术界，这一理论自创建以来经受住了半个世纪时间的考验，但是在实务操作中，投资者常常发现严格运用这一理论得出的投资权重会缺乏可行性和现实意义。马可威茨模型最为人垢病的问题在于其构建的投资组合权重过于集中，不仅对输入参数过于敏感，而且在优化的过程中估计误差被放大。我们认为造成这种结果的原因主要有以下两点：
第一，真实世界中，投资经理在选择潜在投资标的时，往往从各自熟悉的经验领域出发，关注较小范围内的资产种类，比如选择若干支股票或者他们认为被市场低估的资产，寻找具有正动量效应的资产或者展开价值投资。但是马科维茨投资组合模型与现实有较大差异，因为这一理论要求估计所有资产的预期收益率和不同资产间的协方差矩阵。
第二，投资经理发现从马科维茨理论框架中求出的组合权重常常是极端值，也缺乏直觉含义来支撑投资者对组合构建理念的理解。在真实世界中运用马科维茨投资组合模型，一般通过设定期望收益率和相关约束来求解权重构架组合。
此外，传统的均值-方差法还可能引致投资组合中资产权重变动不稳定，下面通过举例说明。假设投资者对市场只有一个额外的预期：德国的股票年度收益比欧洲其他国家高出5%。因为投资者不了解全球所有市场的期望收益率，所以他假设所有国家的股票期望收益率都是7%，然后通过提高德国股票收益率2.5%，降低法国和英国股票收益率2.5%的方式将预期嵌入最优化过程的初始设定中。结果是以相等权重作为最优化过程的起点，不能匹配不同国家间风险水平的差异，而且会进一步导致优化结果是权重较为极端的投资组合。由图1可知欧洲各国期望收益率的微小波动却导致了最优权重发生剧烈波动，法国股票投资的权重甚至变为-94.8%。
图 1 根据马科维茨均值-方差法以所有资产收益率相等为起点求解的最优权重
除了权重对收益率参数估计过于敏感之外，对期望收益率参数初始设定的依赖性也是马科维茨投资组合模型的一个缺点。费舍.布莱克（Fisher Black）和罗伯特.李特曼（Robert Litterman）认为将市场均衡状态下的期望收益率作为风险中性收益率的初始值是一个更好的选择。
二、如何将对市场走势预期嵌入期望收益率
承接上文的例子，将市场走势的预期嵌入期望收益率，传统方法是将德国股票的期望收益率设定为高于欧洲其他国家股票的市值加权平均收益率，但是这种设定的含义是德国股票市场的表现超越了全市场其他国家，显然与现实状况有出入。为了更精确地刻画投资者对市场走势的预期，我们采用另外一种方法，与传统方法的差异体现在三个方面：
第一，设定德国股票的期望收益率比法国和英国的市值加权平均收益率高5%（注意：只是法国和英国的市值加权平均收益率，而不是德国之外所有的欧洲国家的加权平均收益率）。
第二，通过设定和调整所有国家的权重确保整个欧洲的市值加权平均收益率依然处于均衡状态，即整体不发生偏离。以上述德、英、法三个国家的市场预期为例，第一步中设定了德国的股票收益率高于英国和法国的股票收益率，从图2可知，德国股票收益率向上调整，英法两国股票收益率向下调整，组合中其他国家的期望收益率不发生调整。但是从图3可知，除了德、英、法三个国家的股票投资权重发生改变之外，其他国家的权重也相应调整，比如美国和日本的股票投资权重上升，加拿大的股票投资权重下降。虽然对于市场未来状态的预期只涉及德国、英国和法国，但是需要同步调整所有国家的权重来确保全球组合的加权期望收益率和原来的均衡状态相同，即前述“整体不发生偏离”。
第三，保证法国和英国的股票收益率差异始终与均衡状态时的两国差异一致。
与图1对比可知，均衡状态的设定已经刻画了德国股票收益率超越欧洲其他国家的性质，而且图2中期望收益率在优化过程的变化很小。
图 2根据马科维茨均值-方差法以均衡状态为初始状态的期望收益率设定
但是这种方法也存在一定问题，比如除了投资者预期涉及的法国和英国的股权投资权重发生变化之外，与投资者的市场预期无关的美国和日本，其股权投资权重在最优化的过程中也发生了变化（如图3所示）。这种反直觉的权重调整并不合意，反过来进一步增强了运用Black-Litterman模型构建投资组合的必要性和现实意义。
图 3 根据马科维茨均值-方差法以均衡状态为初始状态的最优权重
Black-Litterman资产配置模型的特点是不要求投资者对所有资产期望收益率的完整向量进行初始值的设定，只需要在均衡状态的期望收益率的基础上，针对个别资产或者市场预期进行边际调整。以市场均衡状态的预期收益率为起点的原因在于，根据CAPM模型，当市场上所有投资者具有同质预期时，资产价格会连续调整直到实现市场供需平衡。由此，均衡收益率是Black-Litterman资产配置模型中期望收益率的参考点，在这个基础上投资者再根据自己对市场的异质性预期进行调整和修正。
最简单的情景是当投资没有任何约束时，最优资产组合就是以市值权重为基础，针对个别资产向预期走势的方向进行调整。这个最优资产组合中各种资产的权重较为合理，也同时将资产的预期收益率和投资者对预期的信心强度纳入考虑范畴，所以这种最优组合的构建是完全符合直觉的。
如果投资者对市场走势没有形成偏向性预期，那么Black-Litterman模型中各种资产的期望收益率就是均衡收益率，无约束的最优组合就是均衡状态的市场组合。如果投资者对市场走势有一种或者多种预期，那么Black-Litterman模型就会融入这些信息，将资产权重向投资者预期的方向适度倾斜。
沿用之前的假设，投资者只有持有一种预期，即德国股票收益率高于法国和英国。由图4可知，在Black-Litterman模型中，这并不意味着法国和英国的期望收益率相比于初始值要发生下降。相反地，法国和英国的股票期望收益率均高于均衡状态，但是在上升幅度和水平上均低于德国的股票收益率。
图 4 只包含一种预期的Black-Litterman模型中的期望收益率
初始状态是持有德国股票的多头和英法两国股权的空头，经过Black-Litterman优化过程，最优组合的权重与原始头寸的方向基本一致，即英法两国股票投资的比例下降，德国股权的投资比例上升（如图5所示）。
图5 只包含一种预期的Black-Litterman模型中的最优权重
图 6 包含两种预期的Black-Litterman模型中的权重对比
图7包含两种预期的Black-Litterman模型中的最优权重
除了沿用前述预期，投资者还认为加拿大股票市场的表现会优于美国，收益率差异约为每年3%。经过Black-Litterman优化过程，最优组合相对于均衡状态的市场组合，分别给予加拿大和德国更高的权重，给予英国、法国和美国更低的权重。
一般而言，保持其他因素不变，当投资者持有某种资产期望收益率上升的预期时，在Black-Litterman模型的最优投资组合中这种资产的权重也会随之上升。这个结论背后的经济学直觉十分清晰，当投资者相信某种资产的收益率在未来会变得更高时，投资者自然有动机将更高比例的资金投入到该种资产中。
市场预期的改变除了上述预期收益率的高低变动，还包括对市场预期的信心强度。假设投资者相信德国股票收益率将会比欧洲其他国家的均值高5%，但是投资者对这个信念的信心只有原来的一半，那么在最优组合的权重中，投资于德国股权的比例也会相对降低。这个结论背后的经济学直觉也浅显易懂，当投资者对某种预期的信心程度降低，那么投资者只愿意为这种有偏向性的预期承担更小的风险，进而最优组合中的权重偏离初始均衡状态的幅度也会相应减小。
当有风险约束（投资组合的波动率上限）时，投资者的目标是在满足波动率不超过既定水平的前提下，最大化投资组合的期望收益率。此时，最优组合的权重是无约束投资组合权重按照既定波动率的成比例放缩（以图8为例）。举例说明，如果投资者计划投资组合的年波动率不超过20%，那么投资者可以先计算出无约束的组合权重和波动率，再将所有权重乘以20%的目标波动率和无约束组合波动率之比。
图 8 含有风险约束和两种预期的Black-Litterman模型
当存在预算约束时，投资组合中所有资产权重之和必须为1，因而在整个有效边界上存在一个“全局最小方差组合”（Global Minimum-variance Portfolio）。同时存在风险约束和预算约束时，最优投资组合是无约束最优投资组合和全局最小方差组合的线性组合（以图9为例）。
图 9 含有风险约束、预算约束和两种预期的Black-Litterman模型
当存在贝塔约束时，投资组合的贝塔值（投资组合收益率对是市场组合收益率的敏感程度）与市场组合的贝塔值之比须为1。同时存在风险约束、预算约束和贝塔约束时，最优投资组合是无约束最优投资组合、全局最小方差组合和均衡状态下市场组合这三者之间的线性组合（以图10为例）。
图10 含有风险约束、预算约束、贝塔约束和两种预期的Black-Litterman模型
（六）Black-Litterman模型的实践和运用
高盛资产管理公司的量化策略小组将Black-Litterman模型作为建模框架的核心，并广泛运用Black-Litterman模型进行投资组合管理。他们将寻找预期可获利的资产，包括价值因素和动量因素等，作为构建投资组合的第一步。尽管针对不同的投资者需要选择不同的基准模型、目标风险和组合约束，但是Black-Litterman模型中基于均衡状态的初始收益率设定是普遍适用的。投资者首先投资于市场组合，然后根据自己的市场预期针对个别资产调整权重。在Black-Litterman最优化过程中，投资者逐步将组合约束和异质性预期等信息融入到基准市场组合中，进而最终得出的最优权重与直觉较为一致
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来源：南湖互联网金融学院、部分翻译整理自1999年12月高盛资产管理公司的量化研究小组成员Guangliang He和Robert Litterman发布的投资管理研究报告，主题为“The Intuition Behind Black-Litterman Model Portfolios”。
部分内容作者 罗伯特·莫顿(Robert C. Merton)：美国哈佛大学商学院金融学教授。哈佛大学最高级别“大学教授”。1997年诺贝尔经济学奖获得者。现代金融学开创者之一。