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新书速递 | 中学数学教学核心概念解读
导读
为什么会出现错误？各种教学方法的优势及缺陷是什么？小编今天为大家带来的这本新书，主要从学习的角度“自下而上”地来看数学发展，而不是仅仅从学术的角度“自上而下”地看。在每一章作者都会先确定出学生在进入中学时已经了解了什么知识，这些知识有些来自之前的学校教育，也有些来自校外的经历，然后从全新的视角审视进入中学后学生必须理解的内容。作者从教育的概念生成理论出发，系统综合地论述了中学课程中若干关键领域。具体的研究包括：·基于已有研究从理论上解释学生如何学习数学；·研究中学其他学科中涉及的数学学习；·讨论在特殊领域的相关研究报告；·通过学生的错误和教学实验说明如何成功学习数学概念；·分析特殊的教学方式的优势和问题。这本书基于国际数学教育研究确立了数与代数式的关系、比和比例推理、测量和小数、空间与几何推理、数据推理、不确定性推理、变量间的函数关系7类主要数学教学核心概念呈现给读者，以简单易懂、引人入胜的方式对中学数学基本概念做出了统领性的概述，为中学数学教师和数学教育工作者提供了直接帮助。
《中学数学教学核心概念解读》
[英]安妮·沃森、[英]凯斯·琼斯、[英]戴夫·普拉特 著
教育科学出版社2020年3月出版
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让我们看看作者对这本书的介绍吧！
学校数学教育的核心问题
全书主要围绕数学的七个核心领域展开：数与代数式之间的关系；比和比例推理；测量与小数；空间与几何推理；数据推理；不确定性推理；变量间的函数关系。第9章，即全书的最后一章，主要聚焦于一些数学前沿问题，这些前沿研究植根于初等数学教学，并延伸到高等教育中。
对于课程设计者和方案制定者来说，数学学习核心问题的确定是一个被反复提及的问题，不同的目的决定了不同的观点。例如，西蒙的幼童数学学习研究关注“信任数数”、位值制、乘法思维、分割、比例推理，因为研究者认为这些会为小学数学的学习打下基础。欧洲委员会的一篇报告从更广的视角思考这个问题，并提出数学中的“重要思想”要有如下特征：·有发展认知水平的巨大潜力；
·有利于建立“数学是科学”的认识；·支持数学上的交流和讨论；·鼓励教师进行教学反思。他们的研究还列举了表示法、证明、无限的思想、分类、排序、形式化等作为以上特征的例子，但并未对“重要思想”明确列出清单。
施魏格尔采用其他的方法来描述这些“基本思想”：·重现于数学的发展历史中（时间维度）；
·重现于数学的不同领域中（横向维度）；·重现在不同层次上（纵向维度）；·扎根于每天的活动中（人类学维度）。我们选择这七个重要领域主要有以下几方面的原因：依据课程的线索，选择能够渗透数学思想的数学概念，选择给学生学习带来困难的数学概念，选择对就业和成为合格公民有价值的数学概念。因此，我们选择的标准除了包括上述施魏格尔观点的最后三方面，还包括孔策等提到的关于数学学习的考虑。由于我们关注的是较大年龄的学生，这就意味着我们既不需呈现算术和位值制的研究，也不能详述小学数学如何将生活中的数学进行形式化理解，同样不适合详述学习发展理论。但是，当我们研究学生的学习时，已有知识对于后续知识的建构十分重要，因此不可避免地要对低年级学生的已有学习经验进行深度探讨。在每章的最后，我们从教师培训者、数学家和研究者的角度出发，基于不同的思路，为每一个特定年龄段的学生提供不同的数学活动，并使之和更广泛的基本课程领域产生紧密联系。
在本书中，一些核心数学概念/思想观贯穿所有主题，也融于许多章节，如证明、信息技术的应用以及表示法等。除此之外，有些数学概念/思想始于小学阶段，但它们与更复杂的数学概念/思想高度相关，因此书中也对它们进行了详细论述。
本书章节体系
我们在每一章都确定了一些共同的研究主题，这些主题以数学学习为基础，但不限于数学内容，在施魏格尔的术语里这些被称为横向维度和纵向维度的基本思想，它们与怎样解决数学问题有关，在数学中扮演着经久不衰的角色。就孔策的研究而言，我们的研究主题有益于发展概念性知识，有益于确定并表达什么是数学，有益于促进教师进行教学反思。当然，读者也可以从中看出更深远的主题。我们将研究主题分为三类，分别是课程中蕴含的数学概念/思想（既包括外显的，也包括内隐的）、概念生成的不同角度和具有实效性的教学方法。
课程中蕴含的概念/思想
全书基于课程概念/思想的几个主要视角包括：数量和性质间的关系这一主题在几章中都始终贯穿，具有强烈的关联性。通常来讲，学生最初学习到的是数量，例如几何的学习如果用简单直接的方式介绍长度、面积和体积，那接下来对数量关系的讨论对学生来说就可能会有困难。几何学习中对教学方法和教学设计的挑战是什么？不是让学生做精确度要求不高的测量，也不是让学生通过试误来调整解决问题的方法，而是指导学生对图形的性质加以讨论，从而使学生体悟在几何学习中很有价值的演绎推理。强大的内隐概念/思想通过描述“使教学更有数学味”的方法渗透进数学课程中。在这些强大的概念/思想中，有一部分是无处不在的，这种普遍性使得教学中并没有明确出现关于它们的表述，但它们在一些数学家眼中却是具有隐性价值的。这样的概念/思想出现在本书的许多章节中，比如变量、比例、相似、对称、线性、测量、维度、表示法、预测、精确度、离散、连续、转化等。教师教学的难点是怎样使这些概念/思想更加明确、更加有机，并体现出它们对数学的价值。事实上，在强调结构性的前沿数学中，这些概念/思想逐渐成为大家关注的焦点，比如线性关系就成为线性代数学习中的主要部分。这些重要的概念/思想在工作中也是至关重要的。面对新环境，学生需要运用他们的数学思维。比如，掌握了比例的知识，他们就能处理有关伸缩量的问题。形式化是一个贯穿这些章节的强有力的主题。此阶段的学校教育特点之一是要将日常理解的内容转换到形式化的学习中，对年龄较小的学生而言，每天的生活就是感知的起点，不幸的是形式化的思想在每天的生活中难以被直接观察到，因而这样的思想不得不扩展到学生很少体验的问题中，这对他们来说是较高的要求。与此形成对比的是，虽然一些形式化思想缺少直觉感知基础和经验支持，但我们也要向年龄较大的学生介绍这些概念/思想，因为它们为审视数学内外的不同现象提供了方法和依据。可能正是这一原因，关于这个阶段学习的研究大多是针对典型错误的，这些典型错误常常是在特定环境下出现的合理结果。因此，这一阶段的数学学习没有绝对的真理，数学学习的效果更多取决于课程目标、数学主题安排、工具使用以及教学方法的运用。从对学习者有何价值的角度来看，持续性课程应该对学生以后的就业、学习和生活都有重大意义。现在的研究中，有些关注的是课程如何帮助学生应对测评，有些关注的是按照传统顺序编排的课程该如何实施，而本书所介绍的研究主要是面向持续性课程，这会与其他研究有本质的不同。
概念生成
对全书基于概念生成的几个主要视角阐释如下。混淆的原因可以理解，因为混淆是思维的产物。对过去经验的过度概括会导致混淆，对无根据的直觉的过分依赖会导致混淆，对需要详细解释和重复经验才能理解的模棱两可的符号的不熟悉也会导致混淆。通常，学习者面对直观形象的对象时，引起他们感知的是刚刚接触到的事物，或者已经程序化的、内化了的方式，他们容易有意无意地忽视对象的结构、关系、意义等这些难以即刻外显的问题。有目的的多元体验可以促使青少年学习者进行更多有意义的数学思考，这些体验可以是数学内部的，也可以是数学之外的。这些体验可能有些凌乱，需要在接下来的一段时间内不断得到扩展，当前构造的概念可能尚不能被学生自发地应用，但是经过充分的培育，这些体验仍是可用资源。需要强调的是，体验必须得到提升，如果教学仅将学生的体验限定在过于明显、过于简单的情形中，或者局限于日常生活中非正式的推理，或者仅仅让学生感受在局部领域起作用的体验，那么虽然体验可以作为激发学生学习动机的起点，但这是绝对不够的。表示法是数学的重要特征，也是数学学习的重要工具，特别是互相联系的多元表征。通常，认识各种表示法的作用以及认识各种表示法之间的结构性联系可以促进概念性知识的生成。通过运用表示法，学生开始认识到，一些基础的数学概念可以不断扩展到更广阔的领域。乘法推理在数学的所有领域里处于核心地位。当然，其他形式的推理也非常重要，如演绎（几何）、结构（代数）、数据、概率、估算、预测、假设、公理、转化等。这些推理形式和大多数主题一样，常隐含在数学中，极易被忽视，所以如果教师不对此进行认真对待，学生们就会很难理解。
教学方法
全书基于教学方法的几个主要视角包括：目前的教学中常常不关注例证，或使用了不贴切的例证，因此很有必要引入概念界定，以使学生能够区分什么与新知识有关、什么与新知识无关。当学习空间问题和函数推理时，学生很自然地会将知识联系到空间或函数的原型实例上——原型实例对每个人来说都是必要的资源。但在学习的过程中要意识到原型实例的局限性，通过概念界定的方法则可以防止学生过分依赖对应原型实例。如函数概念界定的问题可以通过下面这个例子来说明。有一次上课时，一个学生提出这样一个问题：如果x2项的系数为0，那它还是二次的吗？就这个问题，教师让大家在课堂上对函数的概念界定展开了讨论。一些精心设计的数学软件可以帮助学生学会提出新问题。学生在操作中充分体验了探究的方法，这也提升了他们未来就业的技能和继续学习的能力。比如，学生们使用Logo语言时，可以在设计方向上有更多的控制权。为了完善程序设计，学生们可能需要深入理解变量的意义，这也是发展更普适、高效的程序的一种方法。在问题解决中如何应用数学，既是学生就业和未来学习中面临的巨大挑战，也是重要技能。
图形表征几乎是学习所有数学领域的重要工具，所以在教学方法上需要关注图象法与代数式、表格和算式等其他表示法之间的联系，使学生养成根据现实问题中的数据进行绘图的习惯和利用函数等数学工具分析具体现象的习惯。
文章节选自《中学数学教学核心概念解读》一书，教育科学出版社2020年3月出版，微信编辑时有改动。
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