一土的数学课上，一张纸能玩出什么花样？
这是一土教育的第 237 篇文章
作者：陈楚，一土创校数学老师、哈佛大学教育学硕士
来源：坐井观天EdWell（ID：EdWell2018）
如果说过去一年里有哪些做过的一年级数学项目让我能反复咀嚼、迭代，每在新的情境下探讨还都有收获，那非纸飞机项目莫属。看起来是一张纸，看上去是幼时闹着玩的游戏，其实背后暗藏着许多丰富又有延展性的内容。小朋友们在这个项目中学到了什么？
规则与自我管理
第一件要学习的事，不是几何也不是创造力。是纸张管理。我们暂且不去具体想象学生折叠多版纸飞机过后，教室里各种纸张随处乱飞的景象。即便是作为一个被寄予了“活泼有趣”期望的课堂，若没有规则，就极易产生无效的混乱。更何况作为老师一直都坚信“习惯的力量”——即整理与分类物品——也是数学学习中与生活紧密联系的一环。
晨犀课堂记录 | 12.13
……然后，大家带着周末和爸爸妈妈做的飞机去操场试验，看看自己在项目伊始做的纸飞机能够飞成什么样？我们还用步数测量法数了数大家的飞机飞了多远……
接着，我们回班分享，并提出了做项目期间的两点要求：
1. 不在教室和走廊玩纸飞机，只能去操场试飞。
2. 每架飞机写上名字，随时收好，不可随地乱丢。
这两点要求都是学生用自己的语言表述出来的。我做的只是请他们去设想：
在教室和公共走廊玩纸飞机会发生什么？
如果找不到自己的飞机怎么办？
用过的纸要如何整理？
联系我们常用的班级公约（class norms）“保护自己，保护大家”，学生很自然地理解了彼此对于纸张管理的期望。在随后的几次课程中，我们也停下2次，用几分钟时间带全班反思：我是否达到了这两点要求？我如何做才能更好？
“我发现xxx总是忘记把纸收起来！”
“那么，我们可以如何帮助他？”
“可以提醒他。也可以直接帮他捡。”
在定义“不做……”的规则之上，纸张管理其实还含有环保意识的启蒙。我执教的班级一直都有“废纸回收箱”。师生都可以把废旧的大小纸片收集起来做他用。学生还可以带家里的废白纸以一定规则“卖”给班级换一土币。因此，在这个项目初期，我鼓励学生们：在学习折飞机的开始阶段尽量用废纸。有趣的是，随着项目推进。学生发现：废纸才是阻碍纸飞机进步的电梯。
晨犀课堂记录 | 12.17
吾日三省吾身：今天我折的飞机有达到自己设定的目标吗？为什么？
“新的纸比用过的废纸好用，因为废纸皱巴巴的，但是没有折痕没有被踩过的废纸就可以。”
“今天的进步是我的飞机的嘴不吃风了终于合上了，因为折的比昨天整齐。”
还有同学说今天的飞机比昨天的有进步，因为昨天很多地方折错了，今天改正了之后飞机平整了，就飞得更高了。
的确，大家后来回想项目伊始看的国际纸飞机比赛视频。“高档”纸飞机可都是徒手用新纸平平整整折出来的呢！那么既然有需求要用更多全新的白纸，当然可以满足。只是我提示大家需要互相提醒善待纸张，不可随意乱折造成浪费。因此，大部分的同学还是会一边谨慎地要新纸，一边在废纸箱里淘“金”，哪怕是在反复的迭代折叠过程中急需更多的纸。之后，当我们进入到更疯狂的纸飞机折叠试验阶段，学生中产生了“美观”的需求。于是，我也调整了策略——开源节流，开始提供彩色A4纸并标以价格出售。必然有人因此展现“财大气粗”，然而眼见浪费与“公众谴责”，也得收敛收敛。毕竟，我们追求的是让飞机“飞得远”或“飞得久”，哪管用的是好看的彩纸还是皱皱的废纸。
假期在阅读《Management in the Active Classroom》时，偶遇一章节“Paper Management”。讲的即是老师如何用不同的策略帮助自己也引导学生做好学习用纸的整理与分类。里面提到“即便我们身处一个互联网时代，许多材料都已经开始电子化了，学生仍然有很多需要动手用纸的地方。纸能生动地留存学生成长的轨迹，也是重要的反思工具。若学生不能自行管理学习用具或总是丢失纸质作品，那么他们也很难挑战成为更好的自己。” 花了这么些篇幅就是想说：无论于我还是学生，纸张管理是我回头看这个项目最意料之外又是情理之中的收获。不管是PBL还是其他多么创新多么花哨精彩的教学活动，千万不能脱离底层习惯的培养。
几何知识
第二件能学到的事情，显然是与几何相关的知识技能。纸飞机的项目连续做了两个学期，比赛也举行了两届，每次各有重点。第一届花了3个星期左右，每周3小时。第二届缩短到4天，每次1小时。第一届的重点在知识技能，第二届在前一届基础上更注重协作沟通。先说说第一届。
从“几何”所代表的知识技能出发，我列出过如下期待。都在一年级课标里能找到，甚至依教学情境有一些额外补充：
学生能够初步构建空间概念，复习“上下左右前后”六个方位的认识与表达，复习常见平面图形，尝试直观感受平面图形的变化，了解“对称”、“一半”、“中点”等概念；
学生通过对纸飞机折叠过程的复述与同伴互助，训练逻辑表达能力。
这一届的比赛由单个学生独立完成纸飞机的折叠与比赛，花费的时间主要在与学习“怎么折”并熟悉项目学习中与design thinking类似的步骤：“原型制作-(反馈)-检验”的过程。放到课堂情境下，学生每节课都会经历如下四步：
▨ 折，顾名思义，尽量独立折叠想要用来参赛的飞机。全力以赴，尝试3次再求助；
▨ 试，去户外尝试投掷，用秒表和地面上的地砖各自测量飞机飞行的时长和距离；
▨ 记，用铅笔在“我的飞行记录”下方对应的方格填写自己当天的最好成绩；
▨ 反思，与老师分享：我遇到了什么挑战？下一次我如何可以做得更好？
在折叠这部分的教学与列出的期望标准1最相关。与其说手把手“教”折飞机，不如说我尝试采用了很多学生中心的学习方法，让不同层次的学生有机会挑战自己，也让老师从所谓“课堂1对1指导”的假个性化模式中“解放”。从下面的两条记录来看：学生学习的目标相同，路径却各有特色。
晨犀课堂记录 | 12.17
所有同学分成两个小组做这几件事：
迭代飞机：各小组先尝试用连接词回溯各个折叠步骤——把老师当作机器人（doer），学生用语言准确表述（speaker）指导折叠而不能动手代劳。老师依然注意强调“平面图形、对称、一半、上下前后左右”的方向概念，与此同时引导学生用这几个概念进行表述。接着，在之前自行定制的今日目标指导下，大家或是买新白纸或是用旧废纸再折1-2架同一型号的飞机。最后就是出去试飞啦！老师观察到，大家学习的过程有不同。老师鼓励的是，“尝试3次再求助”，“帮助他人”和“全力以赴”。所以，我们也发现，完成的同学先帮助他人，无法折对称的同学不会第一次就喊着要老师，即使手法不完美，通过观察优秀范例（work of excellence）也能发现自己可以进步的地方。
助教兰老师的补充：
几种比较难折但飞行距离又极具诱惑力的机型，是孩子们根据兴趣找陈老师和我自愿报名分组来学习的。小组学习，必然会出现组内进展速度不同的情况，我们事先讲好会照顾到每一名同学，所有人都折好一个步骤才会继续往下进行，这就免不了需要组内的相互帮助。“用语言解决问题”一直是我们的共同的班级期望，在这样的文化的影响下，“能动口就不动手”不仅帮助孩子们免去了很多发生矛盾时不愉快的肢体接触，“努力讲清楚而不代劳”也成为了这节课的一大亮点：
“两边的三角形要一样大。”
“怎么才能一样大？”
“就是……就是你看这里，你这个角要在中间这条线上。”
“……”
不知道一个“小土豆”要给另一个“小土豆”讲清“对称”这一概念的背后要内化多少图形的名称和空间结构感，但一次次的尝试后，他们真的做到了。太意外。作为全程跟下来的助教，在一开始确实没有想到这个看似更需要“动手”的项目，搭载了这么多“动脑”的可能。
在之后的教学中，我还给学生提供了更多的分层和抓手，增加了手把手播视频模式的教学，又提供了折飞机的图纸辅助有独立自主能力的学生或是同伴间进行互助学习。再者，还通过不断地引导大家口述折叠过程，老师鼓励大家回溯折叠过程，强化练习折叠的手法（压平、压实）。
团队合作
接着再说说第二届。与第一届相同的是，学生对于这个主题在2个月之后的新一学期仍然兴趣不减。而与之相比，第二届的赛制发生了巨大变动：
第一，飞行记录表格在规定功能下由学生自己全权设计、装饰、记录；
第二，比赛借鉴Scrum工作法以团队形式轮转分工进行，实行团队积分制；
第三，在反馈部分强调小组内部讨论并集体分享反馈，与记录成绩的准确度一起纳入bonus的考量反馈，加入团队积分。
换言之，第二届的比赛更加强调“团队协作”，同时在知识技能的部分更多地放手给学生操作，让他们有更多试错的机会。
晨犀课堂记录 | 3.30
与第一届飞机比赛相比大有不同的是，这一次我们不增加折叠的难度，但加大协作的力度——采用Scrum团队工作法，引导同学们以三人为一组组成“铁三角”（含义是“三角形最稳定”）团队，每人选择自己擅长的工作：
▨ 产品经理owner：【投】掷飞机，收集所有人的反馈意见并监督整体进度。
▨ 研发团队developer：以大家认为最好的方式【折】叠出最棒的纸飞机。
▨ 项目经理master：【记】录成绩，监督进度，鼓舞士气。
为了深入理解三角协作的意义，老师带领大家讨论了两个问题：A.纸飞机飞得远/久的因素有哪些？B.一个理想的团队是什么样的？让人挺惊讶的是，大家能够运用班级规则或期望来解释这些问题。
这一届的比赛为期3天，采用团队积分赛制。飞得远比 3轮，飞得久也赛3轮。特别要注意：
▨ 每轮比赛前：
项目经理领取白纸，每轮比赛后纸飞机作废
每轮比赛有5分钟时间折叠飞机并试飞
▨ 每轮比赛时：
保护自己，保护大家。所有人坐在边上给其他同学加油，违反的后果是小组被取消比赛资格。
▨ 每轮比赛结束后：
把纸飞机写上名字上缴；
项目经理记录成绩，特别检查记录单位米（m）和秒（s）
反思讨论“我们”作为团队：我们做了…...我们喜欢......如果还有一次机会，我们会......
特别的加分项！认真讨论并积极分享反思的团队可以得到bonus——在基础成绩上加长1米或多加1秒！
周三，我们更多地在讨论团队规则并回顾几种纸飞机的折法，由于雾霾，我们只在三楼试飞了飞机。周四，我们比了两轮“飞得远”，更多地是在适应规则或进行团队磨合。这个过程中出现了小组的摩擦甚至是没有成绩的情况，然而大家没有陷入情绪，一起做出了明智的选择：把情绪转化反思，反思转化为行动。周五的比赛顺溜多了，有小组创造了12m20cm的历史好成绩（这还是在他们有两轮比赛没有成绩的情况下）！也有小组发现他们的成绩呈现2m-4m-6m的等差数列增长。不少小组都有了自我突破。
扔纸飞机早已不是我们小时候千篇一律地折好，而后虔诚地“哈”上一口“仙气”使出浑身解数看谁扔的远的游戏，谈“流体力学”的确为时尚早，但我们清楚地看到孩子们已经开始认真琢磨对称性，机翼的长度、宽度等条件对飞行状况的影响，也通过这项活动逐步建立规则意识，学习团队合作。
一张纸只“是”一张纸吗？
- END -
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