北大数学博士给小学生的数学课
这是一土教育的第 463 篇文章
一土教育 | 内心充盈 乐天行动
构建可复制的成全式教育生态
在给孩子的数学思维课上，第一节课，我们通常会问孩子们一个问题：“你们喜欢数学吗？”不出意外的话，一定会有不少孩子高呼：“不喜欢！最讨厌数学课了！最不喜欢数学老师了！”要知道，他们大多还都只是1、2年级的孩子，正是探索和求知欲最旺盛的年龄，数学学习之路也才刚刚起步。这不禁让人感慨，数学怎么了？
▲Photo by Annie Spratt on Unsplash
后来看到一项美国的民意调查：每10名成年人中就有4名表示上学时厌恶数学，高于对其他学科厌恶程度的2倍。看来，这个问题不只是中国有。为什么这么多人不喜欢数学呢？
01
数学教育中，最难的是什么女儿弱弱地问：「什么是……乘法？」
哈？乘法都不知道，你们数学在学什么？
「20以内的加减法。」
从家长的角度看，一年级的孩子能学会三位数乘以两位数，是不是就很了不起？但是从一个数学老师的角度看，能让一个一年级的孩子『真正』学好20以内的加减法，才是件不容易的事情。
从知识和技能的角度看，整个小学阶段的知识就那么多，特别一、二年级，如果只是为了让孩子快速掌握一种解题方法，那确实是可以一日千里，制造出一种学了很多、很牛、很厉害的感觉。但是，这除了迎合家长的焦虑，制造孩子的攀比心外，实在想不出还有什么实质性的益处，甚至还可能会对孩子真正领会学习本质、发展持续的自主学习能力不利。
所以无论是在一土学校的数学课堂上，还是Fun math的数学思维课上，我们都不会让孩子超前学习。
其实真正达到国家标准对小学生数学学习的要求，对这个年龄的很多孩子来说，并不简单。这些要求包括：
➤积极参与教学活动，对数学有好奇心和求知欲；
➤在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼客服困难的意志，建立自信心；
➤体会数学的特点，了解数学的价值；
➤养成认真勤奋，独立思考，合作交流，反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
要让这些标准落地，对老师也提出了不低的要求，比如：如何设计课程，能够吸引小朋友主动参与教学活动？什么样的问题，能够做到既要有挑战性又能让小朋友体验成功的乐趣？什么样的例子，可以既体现数学特点又有应用价值，让孩子觉得数学有用？如何在教学活动中培养优良的学习习惯？这都需要教师对数学学科内部知识的连接和构造有较为深刻的理解，同时对小朋友的学习发展规律有较好的认识才有可能做到。
就拿一年级来说，20以内的加减法，怎么才算学会了？从计算能力的角度，也就是技能方面，我们希望小朋友们能够创造性地想到三到四种方法计算同一个算式，比如：7+8，可以是7+3+5，可以是5+2+8，也可以是7+10-2，还可以是5+2+5+3，还可以是7+7+1，或者8+8-1……甚至可以是接着数数，也可以是脑子里想象十方格数字利用图形解决等。之所以强调不同方法，目的是用开放性问题激励小朋友思考，进而对数字的结构、顺序、十进制构成等有较深刻的理解。
在这个过程中，我们也会将具体的方法与图形化的解释对应起来，建立数形对应的思想，将计算脱离符号化的表示（如7， 8这样的阿拉伯数字是符号化表示），达到对计算技术本身的深层次理解，为将来更复杂的计算原理打好坚实基础。
更深一层，我们强调的是问题解决能力，也就是数学建模的部分。举个例子，即使小朋友们能够迅速背出，或者算出7+8的正确答案，可是在面对现实问题，不写出7+8这个算式时，那么学会算7+8又有什么用处呢？这种建模的能力，也就是将现实问题提炼成数学抽象的表达更为本质。而这种能力需要通过大量的实例、不同的场景，让小朋友们反复思考和总结而习得。任何抽象的概念和方法都必须建立在例子之上，老师的作用便是通过生动有趣的场景和问题，将数学方法、数学概念应用起来，让孩子体会到数学方法的普适性，和运用数学方法解决问题的愉悦感。
素质要求不只是说说而已，都需要老师通过以学生为中心的课堂设计，逐一去贯彻和落实。而这些数学品质和数学素养，才是这一阶段，作为一个数学教师有责任通过自身的专业和热情去传递给孩子们的东西。
02
时刻在崩溃边缘的小学霸之前我们说过，以求快、求赢为导向的超前学习，对孩子可能没有什么好处。在我们的课堂上，就常会看到一些超前学习的学霸型孩子，比如佳佳。
佳佳是一个非常聪明的孩子，通过他的课堂表现和与家长的交流，都可以看出，这个孩子各种课外课参加了不少，各种类型的题目也见了不少。佳佳对自己的数学能力充满信心，课程期间，每天脸上都洋溢着笑容，看得出他很喜欢课堂内容。在课堂上，他也热爱思考，发言和表达意见都很积极，还特别喜欢挑战性问题。但是，就是这么一个牛娃，却在课堂上屡屡情绪崩溃。
在“骰子魔术”中，佳佳因为之前接触过这个魔术，所以老师刚说完魔术游戏规则，他就迫不及待地告诉大家：“我知道这个魔术的秘密，骰子点数对面和为7！”但是，在游戏中，由于对游戏背后的规则理解不透彻，佳佳总是猜不透老师如何计算多个骰子隐藏面累加和的方法。其实，他离正确的结果只差一点点，但由于无法接受一个自以为会了的游戏竟然总是赢不了，他情绪一下子失控，在课堂上大哭起来。
在我们的课堂上，为了鼓励孩子们探索和试错，我们会故意设计一些规则淡化输赢和结果。比如在“恶魔岛购物游戏”中，我们引导学生通过解决游戏场景中的实际问题，来灵活应用所学的数学知识。在游戏中，学生可以买道具，也可以卖道具，在买卖过程中学会应用加减法、分类、进位和退位。在这个游戏中，佳佳同样很渴望全赢，既想比别人在金币总数多，又想比别人买的东西多，这种心态导致他无法取舍，最后根本没有办法参与游戏。当他需要将原本早已滚瓜烂熟的运算规则和实际联系起来时，他也遇到了困难。
像佳佳这样的孩子，是平日课堂上的小学霸，习惯了事事争输赢，也习惯了自己总是赢。在一个需要更灵活应用知识的环境里，当他们不能每次都稳拿第一的时候，他们就会有几种反应和表现：
急躁，对于自己无法快速得到答案不满，拒绝继续参与；
害怕犯错，拒绝尝试，患得患失；
无法接受自己错了或者输了的结果，情绪崩溃。
在一些学校和培训班里，孩子们已经习惯了每道数学都有一个正确答案，越快得出正确答案越厉害；习惯了只要是数学计算得出的结果，就应该是精确的，越准越好，不可能含有任何估计成分……数学被等同于算术。但事实上，猜想和估计是数学领域所应用的两类重要核心方法。
也正是这些错误的印象，让孩子们错过了数学学习的真正乐趣：不断挑战未知问题，主动探索解决办法。在挑战和学习的过程中，势必会发生错误，会被难住，但能否做到正确看待输赢成败，坚持不懈，不轻言放弃，才是最重要的。
由于过度关注输赢的结果和外界的评价，当遇到困难时，在最需要集中注意力学习和思考的时候，小学霸“佳佳”们反而没法集中注意力，失去了最好的学习机会；当需要在不断试错中探索和发现隐藏的规律时，他们拒绝尝试，失去了参与探索的机会。
▲Photo by Michał Parzuchowski on Unsplash
当发现了佳佳的问题后，我们首先接受孩子的情绪，给他平复和冷静的时间，接纳他重新加入游戏，引导他认识游戏输赢不那么重要，并不断鼓励他大胆尝试，不怕犯错 ，大力赞赏这是一次非常好的学习机会，要淡化对错，以此消除他的担忧顾虑。
因此在课程的后半部分，佳佳发生了很大变化。他逐渐接受了自己会输、会错的事实，开始将注意力放在学习本身上，认真思考，积极尝试，不再因为担心输赢而放弃探索。在另一个名为“花式钓鱼”的游戏中，他每次都会挑战难度很高的，用全部八张牌来凑成目标数字，虽然并不是每次都成功，但经过多次失败的探索后，他很快就摸索到如何简化问题的方法，是所有孩子中最快的。
03
所有孩子都可以学好数学和佳佳这样的学霸型孩子相反，还有不少孩子小小年龄就对数学充满了抵触，缺乏学习的兴趣和信心。其中，让我印象最深的是鹏鹏。第一节课上，当我问大家对数学的感觉时，他的回答是：“数学作业各种计算无聊死了，数学老师还霸占体育课时间拖堂不下课！最讨厌数学，最讨厌的是数学老师。”
这样的回答让我有点冒汗，我第一次遇到这么直接的汉子。不过，从孩子的角度想想，如果我遇到这样的数学老师，不管他多么尽职尽责，估计也是很难喜欢。课程初期的确能够感受到鹏鹏对数学的态度，上课时很少专心，总是去招惹其他的小朋友，是典型的麻烦制造者。但经过几天的课程后，鹏鹏的变化让我们惊喜。他不但开始认真倾听和思考，也敢于探索和尝试，愿意分享自己的想法，遇到难题还能够冷静下来，坚持探索。
在一次“设计恶魔岛符号”的活动中，课程目的是让孩子通过自己设计计数符号解决实际问题，从而理解任何符号都可以代表数量关系，更深地理解10进制表示法的来源，以及建立其上的加减乘除运算可以表达的具体含义。课程中，鹏鹏能够紧跟老师的思维，很开心地和老师一起探讨数字符号的起源，对老师给出的恶魔岛符号有自己的认识，能大胆猜测，给出数字结果，并能清晰地表达自己的策略思考过程。后来他又设计了自己的数字符号，他的设计非常生活化，有音乐符号，有曲奇饼干，有水果，这些都可以用来代替数字。他找到了自己创作的乐趣，并且能清晰地表达数字的含义以及在计算中的运用，玩得很开心。
▲设计数字符号
当我用乘法的面积模型来解释乘法的计算原理时，他表现及其出色，认真专注。当我问如何计算12x12时，他第一个提出在12x12的方格纸上，将棋盘从中间分割为等量的4部分（6x6），然后计算。他的方法非常好，和其他孩子分享自己的方法时，更是满满的成就感。那天我超额布置了一些作业，便于学生巩固如何用面积模型计算乘法，结果他第二天一大早就来到办公室找我，非常迅速地把作业交给了我，和刚开始那个喊着最讨厌数学的孩子判若两人。
很多家长会在课后问我们是否有作业，有练习题，他们觉得如果不复习，课程效果就会大打折扣。我们想，学校里的练习题和作业已经不少了，如果我们的课程能转变孩子对数学学习的态度，提升孩子们的数学思维质量，可能会让这些重复性的练习和作业变得更加有效。
数学学习的主要方法就是探索和实践，通过探索和实践习得数学技能，集中体现在“提问/猜想，建模，证明/计算，应用”这几个方面，大多数数学教育的关注点集中在证明/计算这一技能层面。而通过数学技能在具体问题中的应用，提炼出“数形结合，符号思想，化归迁移”等典型的数学思想方法，进一步养成“抽象直观，分析归纳，一般特殊”的数学素养，最后获得的最底层的“专注，坚持，挑战，想象，思考，审美，谦虚”的品质将会长久陪伴孩子，益处也不仅仅是学会了数学。
▲Photo by rawpixel.com on Pexels
很多孩子形成对数学的厌恶之情，是由于在不具备解决问题所需要的数学知识和能力的情况下被逼着去解题，或者只是按照老师步骤完成解题就会得到满意的结果，过程中充满了挫败感和单调无趣。我们相信，没有学不会小学数学的孩子。作为一个成年人，回望我们的学习历程和学习成果，你还会为加减乘除发愁吗？你还记得学习数学的感受吗？你喜欢学习数学吗？
费尔兹奖得主Andrey Okounkov说：
优秀的数学教育是教人学会分辨事物，挑选出那些你毕生的旅途中必须带上的东西，但不必一直拖着那些看上去似乎有用也很精致的东西，因为“在边上的商店就能买到”（比如在网上随手能搜到答案的问题）。数学是这样的旅程，多余的行李没有帮助。
”
数学思维课
2019年秋数学思维课程试听招募中。点击下方图片，了解课程计划，预约课程试听~
学生年龄：K班，G1，G2，G3分年级上课
班级人数：K班3-6人；G1-G3：3-9人
课程时间：90分钟/次，本学期共15次课
上课时间：详见下方课表
课程费用：450元/次，本学期共6750元；
早鸟及团购优惠，老学员优惠请咨询客服
▲扫码咨询
Fun Math 是一家具有教育梦想和创新精神的教育科技公司，致力于给孩子们提供世界上最好的数学学习体验，激发孩子的数学兴趣，培养独立的数学思考方式，让孩子体会到思考带来的高级乐趣，体验到数学这门学科独特的魅力—有趣，有用，有美感。我们在课堂中营造积极，信任和平等的学习氛围，鼓励学生动手探索未知，学会提出数学问题和解决问题，通过设计不同的游戏场景和问题刺激学生主动思考，在分享合作中互相学习成长。
作为一土学校课外课合作机构，在上个学期末的课外课调查中，被评为最受孩子和家长欢迎的课外课。
- END -
推荐阅读