二进制的逆袭：小学生们的福音来了！

作者|吴昊  编辑|Jason

全文3289字 阅读时间约9分钟

作者介绍：吴昊(Peter)，现卡内基梅隆大学数学、计算机双专业学生，兴趣为中小学数学和计算机教育，信奉罗教授“兴趣为本”的教学理念，立志为传播快乐数学的种子尽一份力。

你了解二进制吗？如果用二进制代替我们现在的十进制，在做各种数学运算的时候，居然会看起来非常简便！那么，二进制到底怎么用，好用吗？

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家中有在上小学的儿女，就一定免不了经常听到这种抱怨：“加法口诀太费脑子了！”“九九乘法表太难背了！”“竖式除法太难猜了！”你是否会无奈地告诉孩子，这个没办法，就是得背，就是得猜，过了这个关前途就会一片光明？

无论中国还是美国，每年都有大量小学生因为不想背乘法口诀表而对数学失去兴趣。相比较而言，中文的乘法口诀表比英文的容易很多：在中文里，0到9这些个位数都是单音节，而英文中如7 (seven)就是双音节；在两位数中，英文多音节的例子就更多了：11 (eleven)，17(seventeen)都是三音节，而中文里统统都是双音节。但无论使用哪种语言，都解决不了最让人头疼的问题：能不能不背九九乘法表？

今天我就来告诉大家：可以！而且加法口诀也不用记，竖式除法更不用猜！是不是整个人都沸腾了？那么我们就来看看，这解决一切麻烦的灵药，到底是不是喙头？

在揭晓灵药之前，我们先来了解一下，“十进制”是个什么玩意儿？

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什么是十进制 (decimal)？

   “十进制”其实一点也不神秘：它是一种把数用一、十、百、千，以及十分之一、百分之一、千分之一等等表示的方法：从0开始，到9就是所有的个位数了，再加1，就需要“进” (carry)到下一位，并清空当前位，表示为10，然后再逐渐加到99，如果再加1，就是100，以此类推。

为什么人类用十进制？

你可能已经想过这个问题了：为什么是十？你的父母、老师，以及网络都会告诉你，这是因为

人类有十根手指

确实，人类也有十根脚趾，但很少有人用脚趾算数，虽然这样并不会影响结果。如果你和我一样对停在这个答案不够满意（那为什么人类有十根手指，而蜈蚣、章鱼、蚂蚁等等都和我们的数量不一样？），可以查一下Limb Law，它提出，肢体的最优数量和肢体的大小有关。

另外值得注意的是，纵观历史，十进制并不一直是全人类通用的。古巴比伦文化用的就是六十进制（满六十进一位），而玛雅文化则用二十进制。

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10=十？

   在维基百科上有一个数学笑话：世界上只有10种人，一种是理解二进制的，一种是不理解的。要知道，10在每个记数制 (numeral system)中代表的数都是不一样的。事实上，它代表的数就是进位制的基数 (base)，比如在二进制中，它就是二，而在十进制中，它则代表十。所以，当你在电脑程序中看到10时，不要默认它就是十，而是要确认它用的是哪个数字系统，然后再计算它代表的是什么，因为电脑里面一般用的是二进制。这是为什么呢？请见文末。

二进制vs十进制

   铺垫好了，是时候揭晓“灵药”了！这个“灵药”就是—二进制！我们来看看，如何用二进制消除小学教育最大的头疼。

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a 不用过脑子的加法

   在十进制中，不考虑重复，一共有55种个位数加法的组合：如果两个数不相等，那么一共有10x9/2=45种；而如果两个数相等，一共有10种。虽然现在我们都已经习惯了这些结果，对于初学算术的孩子们来说，是比较有难度的。那么如果用二进制呢？我可以在一行里写完所有的组合，因为只有3个：0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 1 = 10。怎么样？是不是比十进制的55种组合简单多了？

b 不用口诀表的乘法

   我问过在上小学的弟弟，“你最讨厌数学哪点？”不出我所料，他说是九九乘法表。就算忽略掉所有带0的组合和所有重复，我们仍然有45个式子要背。

记得前段时间有个微电影《三分钟》，拍的是一个当列车员的母亲，每年只有一次能见到自己的孩子，就是列车停靠家乡站台的三分钟。电影里，火车一靠站，孩子就跑过去找妈妈，而一找到妈妈，就开始背九九乘法表，甚至连一声“妈妈”都没叫。一直到母亲上车、火车离开站台，孩子以一句“九九八十一”作为给妈妈的送别礼，很是感人肺腑。

但试想，如果我们使用二进制呢？“零零得零，零一得零，一一得一”，3秒钟就背完了，剩下的时间，应该留给母子更深的交流。

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c 不用猜倍数的除法

   若是说乘法靠记，那么除法就要靠猜了。798除以19是多少？我们要首先看79除以19，并猜测不超过79的19的倍数中最大的是哪个。假设我猜它是6，那我就要算出来6x19的得数，发现它比79大，然后再算5 x 19 = 95，一直到4 x 19 = 76，发现它不比79大，才能得出商的第一位是4。接下来，我们拿798减去760，得到的余数是38。接下来，我需要猜商的第二位，以此类推……那么二进制呢？

我们来试试用二进制的100001除以二进制的1011。1011有4位，所以我们先去比较除数和被除数的前四位，发现1000 < 1011，所以就去看被除数的下一位。现在，被除数要考虑的有5位，而除数只有4位，所以肯定更小，那我们就在商的第一位写上1（事实上，二进制数除了0以外第一位永远是1）。接下来，我们拿10000减去1011，得到101。101只有3位，比除数的位数少，所以我们就去看被除数的下一位，发现剩下的1011正好等于除数，所以就在商接一个1，余0。整个过程中，只有0和1的比较，没有乘法和猜数，是不是心动了？

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为什么不用一进制？

   既然二进制有这么多优势，那么是不是基数越小越好呢？如果基数是1呢？我们来考虑一下，如果使用一进制会发生什么。

   首先，因为一进制中唯一的数字就是0，所以加减乘除运算都会非常简单：a + b就是把b贴到a的后面，比如00 + 000 = 00000；a - b则是从a里去掉b，比如 0000 – 000 = 0；a x b就是把a写b遍，而a÷b就是数a里面有几段b。

   那么，为什么这篇文章叫二进制的逆袭，而不是一进制呢？原因在于，用一进制表示数的话，用的位数太多了。我们来考虑一下在n进制下，一个四位数最大是多少。在十进制中，最大的四位数是9999，也就是最小的五位数，10000，减去1。同理，在二进制中，最大的四位数也是最小的五位数减1，得到1111，对应的十进制数就是15。而在一进制中，最大的四位数，也是唯一的四位数，就是0000，对应的十进制数是4。

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看到这里，你可能会想，这么看来，十进制和二进制的差别，和它与一进制的差别也差不了太多啊？那让我们来考虑下，数位更多会发生什么。

假如我规定的位数是k，那么十进制中最大的数是10k-1，二进制中则是2k-1，都是随k指数增长的函数（可以理解为k越大，每增加1位时就能增加越多的数）。而一进制中，最大的数则是k本身，它的增长是线性的（可以理解为不管k有多大，每增加1位时，增加的数的个数不会变化）。比如我要表示的数翻4倍的话，用二进制只需要加2位，十进制要加0到1位，但使用一进制的话，我需要的新的位数是原来位数的3倍，这就需要很大的空间来保存，没有实际价值。

为什么电脑用二进制？

   如果你的身边有程序猿，或者你自己就是程序猿的话，你肯定听说过，我们的世界是由0和1组成的。电脑尤其是这样：所有的数据，不论是数字、字母，还是图片、视频，都是被转化为二进制，也就是一串0和1，存放在电脑里的。那你可能会问了，电脑不是人设计和制作出来的吗？为什么人们不继续沿用自己的十进制，而要给电脑一套新的数字系统呢？这是因为，电脑是由电路组成的，而要让一个电路算出一个数，最简单明了的结果，就是这个电路是通路还是断路。如果有电流通过一段电路，那我们就给这段电路赋值为1，否则就赋值为0。光盘和磁盘也是相似的原理，它们分别用激光和磁场来存储0和1组成的数据。

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   有没有很心动？如果你想帮助二进制逆袭人类教育界，或是想了解更多关于二进制逆袭的利弊，欢迎点击下方“查看原文”，访问罗教授的文章Binary

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