美国Mathcounts数学竞赛(下)：听国家队奥数教练讲初等竞赛题是怎样一种体验？

作者：密斯关 | 编辑：Jason

全文1773字 阅读时间约5分钟

最不像数学课的数学课：听罗教授给初中生讲Mathcount竞赛题是什么感受？

作者简介

  

密斯关，教育科技产品研究爱好者，喜欢探索科技在教育场景中的应用。在Expii工作前，她是一位英语老师，在哥伦比亚大学大学获得教育科技硕士学位。

我一直知道罗教授每年秋季学期会主讲CMU（卡耐基梅隆大学）最热门的课程之一——Putnam Seminar（普特南全美大学生竞赛）。这门课每年都能吸引各个专业的众多本科生，学生要经过一番激烈争抢才能报的上，许多报不上的学生甚至会跑去旁听。不过我没有想到的是，每年秋天，罗教授每周都会给自己孩子所在学校的初中低年级娃们上Mathcounts训练课程（Mathcounts是什么，点击这里了解）。上周末我有幸去旁听了一节，作为一个非数学竞赛选手成长起来的普通生，我从来没想到原本简单的数学题，居然能被罗教授举一反三讲的如此好玩，让我这样十几年没有接触过数学的文科生，居然产生自己也能搞竞赛的自信。

罗教授先和学生们一起现场做20min的题目，然后就开始一道道题的讲解，学生们很积极的分享自己的答案和想法，一旁还有CMU的本科生助教补充他的思路。

罗教授悄悄告诉我们，所有题目其实都是夫人Debbie为他们准备的Mathcount的“历年真题”，题目的顺序是随机的，而他课堂上的讲解都是即兴的发挥，完全没有框死的知识点或方法，“如果你对数学有融汇贯通的理解，就不需要按照教学大纲来教，这样的数学练习和思考才是最有挑战的”。在讲解中，每道题都可以衍生出很多的思考方法，拿一道我最喜欢的题目来说：

When the integers 1 to 100 inclusive arewritten, what digit is written the fewest number of times?

正整数1-100中，哪一个数字（0-9）在个、十、百位上一共出现的次数最少？

你也可以试着先想一想~

怎么样，有思路了吗？

经过一定的分析，很多人应该能想到， 0因为不能出现在十位，所以可能会是最少的数；而1因为既能出现在十位，又出现在100的百位, 1比其他的数出现的次数都多。那么0到底是不是出现次数最少的那个？我们又如何确定呢？

罗教授先用“笨办法”，带大家一起在黑板上数一遍0和1各自出现的次数，按照在个位、十位、百位出现的次数

下面我尝试用图片还原下当时的板书：

按照这样的方式，可以数一数其他的数字，2,3,4…9，各自出现了20次。

但如果要求我们在1分钟内或更短的时间内做出这道题呢？而且不做什么计算？

CMU大一学生的助教小哥展示了他的一些想法——分别思考个位、十位、百位的情况：

——  ——  ——

首先我们考虑最简单的百位，百位只有1会出现1次；

然后我们考虑个位，个位则是0-9都会出现的，1-9，会在1-99的个位数循环出现，且次数一样；0在个位不能单独出现，但会在100里出现一次，所以各位上0-9出现次数相同。

接下来考虑十位，十位上会有1-9各出现10次，但0只会在100里出现一次。

所以，0就是在1-100里面出现次数最少的数，而1是出现次数最多的。

 到这里，正当我觉得问题已经完美解决时，罗教授提出了一个小小的衍生问题：

“我们数了0-9在1-100中各自出现的个数，相加就可以得到0-9一共出现的次数，那么我们还有什么方法计算1-100一共出现了多少个数？”

再次还原一下板书：

我们还是把1-100分成个位数、两位数、三位数的情况讨论，我们重点来说一下两位数：十位有1-9一共9个数字可以出现，个位有0-9一共10个数字可以出现，那么十位和个位的数字有多少种组合？9种 X 10种 = 90 种。所以，两位数中出现的数一共有180个。

不知不觉，乘法原理（也就是排列组合）就在这里被应用上了，用这样的方法数出来的总数，和之前用“笨方法”数出来的数字是一样的。“用不同的方法检验你的答案是否正确，”这是罗教授一直强调的一个做题理念。

想不到还能用排列的方法来思考这个问题，而这样的思考也和原来的解法互相验证！

我100%感受到了数学的魔力。

一个半小时很快过去了，下课后学生们还在围着罗教授讨论题目，“我鼓励孩子们回答问题，不管他们说得对不对。你看到坐在教室右边的女孩子了吗？她这学期的回答问题的正确率比上学期高了太多！虽然每周只有一次课程，但是你能看到她明显的进步。”罗教授很兴奋的跟我们分享他的课程成果，但接下来还有Putnam的课要上，他说了声See you guys，就匆忙赶去了另一间教室。

同样意犹未尽的我只希望此刻时间可以倒流，每周末坐在教室中享受数学的初中生也有我一个。我相信，一节课或一个好老师，有改变学生一生的魔力。

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