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经典算法面试题：有序矩阵的快速查找
算法核心不在于框架用得有多熟练，更多在于逻辑和思维方式，很多情况都需要变换间接建模。本文将通过一个经典的面试题来描述思维过程，引导最终问题建模。
01 金三银四
最近招聘市场各路神仙出没，也打算去凑一下热闹。
热身运动，我先和面试官过了几招，不分胜负。
接着面试官要开始放大招了。
这招怎么化解呢，等我先思考2分钟。
02 分析
2.1 不思考解法
从左上到右下，一个一个的对比不就行了吗，当然这肯定不是面试官期望的。
2.2 逐行二分
一维的可以用二分快速查找，那就分解成一维，一行一行的用二分不就行了吗。
但每一列也是有序的，这种方法其实就没有用上这个信息了，所以肯定还有更好的方法。
03 找规律
一般是先想一下有没有可以套用的算法框架，如果不能发现很明显的算法，可以先分析问题的规律，然后再尝试变换间接建模。我们先尝试把所有能发现的规律都找出来。
根据问题描述，每行每列都升序。
更小规模也符合相同的规律，这就意味着可以想办法缩小问题规模。
从左上开始只能向下向右，则经过的路线升序。
从左上斜着看，还有点像小根堆。
对角线方向升序。
在对角线上选取一个数与目标数对比，可以用分治的思想，分块把大问题化解为小问题。
在边缘选取一个数，可以一行一列的删除，把大问题化解为小问题。
大于目标数，按列快速缩小问题规模。
小于目标数，按行快速缩小问题规模。
根据上面找出的规律，有很多的方式都可以缩小问题规模，那从哪个点开始判断呢。
所以从右上或者左下开始都可以。
04 算法建模
根据上面总结的规律，可以有很多种算法，这里以效率比较高的2种算法说明。
4.1 线性缩小
代码实现
bool solve1(vector<vector<int>> &matrix, ofstream &cout, int x) {
int i, j;
i = 0;
j = matrix[0].size() - 1;
bool flag = false;
while (i < matrix[0].size() && j >= 0) {
if (matrix[i][j] > x) {
--j;
} else if (matrix[i][j] < x) {
++i;
} else {
return true;
}
}
return false;
}
4.2 二分缩小
代码实现
按行二分，缩小列
int searchColumn(vector<vector<int>> &matrix, int up, int right, int x) {
int i, j, mid;
i = 0;
j = right;
while (i < j) {
mid = (i + j) / 2;
if (x < matrix[up][mid]) {
j = mid - 1;
} else if (x > matrix[up][mid]) {
i = mid + 1;
} else {
i = j = mid;
}
}
if (matrix[up][i] > x) --i;
return i;
}
按列二分，缩小行
int searchRow(vector<vector<int>> &matrix, int up, int right, int x) {
int i, j, mid;
i = up;
j = matrix.size() - 1;
while (i < j) {
mid = (i + j) / 2;
if (x < matrix[mid][right]) {
j = mid - 1;
} else if (x > matrix[mid][right]) {
i = mid + 1;
} else {
i = j = mid;
}
}
if (matrix[i][right] < x) ++i;
return i;
}
主要过程
bool solve2(vector<vector<int>> &matrix, ofstream &cout, int x) {
int up, right;
up = 0;
right = matrix[0].size() - 1;
while (!(up == matrix.size() || right < 0)) {
right = searchColumn(matrix, up, right, x);
if (right < 0) continue;
up = searchRow(matrix, up, right, x);
if (up == matrix.size())continue;
if (matrix[up][right] == x) {
return true;
}
}
return false;
}
05 数据测试
数据生成
void dataInit() {
ofstream cout("a.in");
int s = 0;
for (int i = 0; i < 5000; ++i) {
for (int j = 0; j < 5000; ++j) {
cout << s + i + j << " ";
}
s += 4999;
cout << endl;
}
}
执行效率
目标数：10002500
线性执行效率：
row=2000, column=2500
T1=288
二分执行效率
row=2000, column=2500
T2=10
06 总结
通过问题的现象，分析本质，可以发现很多隐藏的规律，然后再通过所学的知识进行问题建模，进而解决未知的问题。
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