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算法面试题:放苹果

The following article is from 小K算法 Author 小K算法

01故事起源
把M个苹果放在N个盘子里,允许有的盘子空着不放,那么总共有多少种不同的分法呢?
注:5,1,1和1,5,1是同一种分法,且1<=M,N<=10。



02分析

2.1
苹果和盘子数量关系

苹果和盘子的数量没有说明大小关系,那就意味着有3种情况:  
  • 苹果比盘子多
  • 苹果比盘子少
  • 苹果和盘子数量相同


如果苹果多,那么一定会有盘子放超过一个苹果。如果盘子多,那么一定会有空盘子。如果相等,情况就不一定。

2.2判断分法是否相同

所有的苹果是相同的,所有的盘子也是相同的,所以他们本身是无序的。
其实这个问题就是把M个苹果分成不超过N堆,总共有多少种分法。所以可先按每堆苹果数量排序,依次比较每一堆的苹果,如果所有堆都一样才是相同的分法。这也就意味着堆数肯定相同,然后排序后每一堆也相同,这样才算是相同的分法。

2.3怎样才是不同分法

上面有了相同分法的判断,那取反后自然就是不同的分法了。  
  • 堆数不同一定是不同的分法。
  • 堆数相同,但排序后,有超过一堆的数量不相同

如下,堆数不同,所以是不同的分法。

如下,堆数相同,但有超过一堆的数量不同,所以也是不同的分法。


03划分子问题
知道了如何区分不同的分法,接着就是如何求出总共有多少种分法。
首先可以按堆数来划分,比如依次将M个苹果刚好分成1堆,2堆...,N堆,把所有的分法加起来,不就是总共不同的分法了吗?  

设f[m,n]表示M个苹果刚好分成N堆的方法数。  
那f[m,n]应该怎么求呢,或者说这个能否划分成小的子问题来求解?

举例: 
假设有5个苹果,需要刚好分成2堆,即f[5,2]。直接人工枚举,可以知道只有如下2种情况,即f[5,2]=2。


继续思考,5个苹果要分成2堆,那这两堆,每一堆至少得有1个苹果,所以可以先在每一堆中放1个苹果,剩下的是不是就可以随意划分了。


还剩下3个苹果可以随意划分,但依然不能重复,那问题是不是就变成把3个苹果分成1堆,2堆,即f[3,1],f[3,2]。


再仔细观察,这两种划分如果再合并上每一堆已经有的1个苹果,是不是和上面的f[5,2]的分法完全一样啊,这样已经划分出了子问题,接下来就依次求解就好了。


04算法建模
设f[m,n]表示M个苹果刚好分成N堆的方法数,那最终要求的就是f[m,1]+f[m,2]+...+f[m,n]。  
这是一个递推关系,那肯定得有边界,不然从何推起呢?  
前面已经分析了m,n的大小关系不定,也就是有3种情况。  
  • m<n,把m个苹果刚好分成n堆,明显是不可能的,所以f[m,n]=0
  • m=n,把m个苹果刚好分成m堆,明显只有一种情况,就是每一堆1个,所以f[m,n]=1
  • m>n,第3小节已经说明,这种情况就划分成子问题,先在每一堆放1个,剩下的再依次分成1堆,2堆...n堆,所以f[m,n]=f[m-n,1]+f[m-n,2]+...+f[m-n,n]


05代码实现
变量定义
int f[11][11];
递归子问题
int solve(int m, int n) {
    if (f[m][n] != -1return f[m][n];
    if (m < n) {
        f[m][n] = 0;
        return f[m][n];
    }
    if (m == n || n == 1) {
        f[m][n] = 1;
        return f[m][n];
    }
    f[m][n] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[m][n] += solve(m - n, i);
    }
    return f[m][n];
}
main
int main() {
    int n, m;
    // 初始化为-1
    memset(f, 0xffsizeof(f));
    cin >> m >> n;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans += solve(m, i);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}


06番外篇
以为已经解决完了?其实还没结束呢,因为还有一个更高级的解法,不过抽象程度更高,不太好理解。  

把M个苹果放在N个盘子里,其实可以直接划分成两种情况:
  • 有空盘子
  • 没有空盘子

那结果就是把两种情况相加即可。  
那怎么分解子问题呢,其实还是一样的,子问题也包括有空盘子和没有空盘子。  

还是假设M个苹果,N个盘子。  
有空盘子如何分解:  
其实就是先拿一个盘子出来空着,这样就变成了M个苹果,N-1个盘子。  
没有空盘子如何分解:  
其实就是先在每一个盘子放一个,这样就变成了M-N个苹果,N个盘子。  

我猜肯定有人会问,这样会不会重复统计啊。其实不会,上面2种大的情况肯定不会重复,在分解子问题的时候,子问题的属性并不会变。比如左边蓝色已经有一个空盘,下面的子问题无论怎么放置都有空盘。同理右边红色因为最开始已经在每个盘子放了一个苹果,所以无论子问题怎么放也一定没有空盘。


递归子问题分解出来的情况不会有重复,那组合起来也肯定不会有重复,所以这样递归出来的就是所有不同分法了。

而且每下分一次,一种是苹果减少,一种是空盘增多,因为总盘子数不变,那也就意味着有苹果的盘子数减少,即堆数减少,这不就是之前根据堆数不同的划分方法吗?苹果减少对应分解子问题,堆数减少对应分类,我们似乎在两种不同的方法间找到了一种莫名的联系。 

再画一个更形象的图帮大家理解,假设我要用0和1组合成不同的二进制数,从首位开始划分以0开头和以1开头,递归子问题依然保持这种性质,那么最终得到的数肯定不会有重复的。这跟上面的场景虽然不同,但都有类似的思想。


代码实现
int solve(int m, int n) {
    if (m < 0return 0;
    if (m == 0 || n == 1return 1;
    return solve(m - n, n) + solve(m, n - 1);
}


07整数划分
再继续把问题抽象一下,如下有一个这样的数学问题:
把一个整数n写成多个大于等于1小于等于它本身的整数的和,即n=m1+m2+...,则[m1,m2...]构成的一个集合称为n的一个划分,那么总共有多少种不同的划分呢?
你品,你细品,这不就是同一个问题吗,只不过我们把它抽象成了一个纯数学问题,这就是很经典的整数划分问题。


08总结
一般求总数的问题有几种情况,一是用排列组合公式,二是套用某种数列,如斐波拉契数列,三是自己构建递推或者递归公式。这个题首先可能会想到排列组合,高中数学经常遇到类似的问题,经典解法是“隔板法”。但这个问题的元素都是相同的,也无序,最大的难点就在于如何去重,所以排列组合不好解。不能直接套公式,那就用递推的方式分解子问题,其它就交给代码就好了。  

整个代码实现还是比较简单,但思考的过程其实并不简单,抽象思维的地方会比较多,大家要多分析规律,把抽象的问题变成具象的过程,这样就容易多了。


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