破解难题2
同学们往往有这样感觉，对于较难的问题，老师讲解时一听就能懂，独立完成时再做却不会。
好比在黑暗的房间里找东西，没有打开灯光时，要不断摸索反复尝试，一旦打开灯光，就会豁然开朗一目了然。
解一个陌生的难题就是在黑暗中摸索，反复验证尝试的过程就是灯光逐渐亮起的过程。
当然，聪明的同学会先找灯的开关，会根据经验和规律判断开关通常的位置，然后有次序有方向地寻找探索。
听老师讲题时，相当于老师为你打开灯光，照亮你的思考之路。光听老师讲其实对你是没有用的，你要学会老师如何在一个陌生的房间找到开关打开灯光的方法，这要在实践中不断练习并深入反思才能真正掌握。
我们继续看第2类难题：增加抽象度，特殊变一般，考察概括能力。
抽象和推理是数学中最重要的思维方法，抽象就是丢弃不同的具体内容，留下相同的结构模式，推理就是运用这个模式解决其它同类问题。
例1.(2017岳阳卷，倒2题)
问题背景：已知∠EDF的顶点D在ΔABC的边 AB所在直线上（不与A，B重合）．DE交AC 所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记ΔADM 的面积为S1，ΔBND的面积为S2．
（1）初步尝试：如图①，当ΔABC是等边三角形， AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1*S2= ；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB 平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求 S1*S2的值；
（3）延伸拓展：当ΔABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（I）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1*S2 的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（II）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b ，直接写出S1*S2的表达式，不必写出解答过程．
分析：图1最特殊，两个三角形都是等边三角形，底与高都可以确定求出。图2保留了图1中∠B=∠A=∠EDF=60°及其中一边长度确定，由“一线三等角”得两个三角形相似，不确定的两边设参数表示AM=m，BN=n，用同样的方法同样可算得面积之积，这时m、n是变量，但其积是定值，而图3、图4只是把60度角换成一般的角度用变量表示，解题思路与过程完全相同，如下图。
可见，问题中某些数量一般化以后，解题思路与方法不变，把定值替换成变量即可。
例2.(2017济南卷，倒2题)
某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：
如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，点E、A、C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF、CF，试判断△CEF的形状并说明理由．
问题探究：
（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF＝CF，以下是她的证明过程
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图1中作出证明中所描述的辅助线；
②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．
（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．
问题拓展：
（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．
解析：（2）如下图如示。
（3）当△ADE绕点A旋转某个角度时，图2比图1更具有一般性，其区别在于：EAC由重合的三条线段变成一个任意三角形。由于其它主要条件没变，所以图1的辅助线作法及解题方法仍然可用。
此时我们不需要零起步思考，把图1的解题过程进行一般化处理即可，这是一种能够提高效率的重要思维方法。图1的解法可概括为把AD绕点F旋转180度构造新的直角ΔECG与ΔACB相似，从而得ΔECF的边等及60度角条件。如下图的分析过程，就是把图1的解题过程进行改造。
前面所用的第1种方法可看成ΔEAC绕C点旋转进行相似变换得ΔEDG，由此拓展把ΔEAC绕不同的点旋转不同的角度可得到其它多种构造方法。[参考阅读：相似变换之一转成双]
法2.把ΔEAC绕E点逆时针旋转90度并缩放得ΔEDG，或由对称原理，线段CF和EF在图中地位相同（都是直角顶点与中点的连线），由法1迁移可以延长CF使FG＝CF，同样得ΔEDG与ΔEAC相似，ΔEAD与ΔECD相似，具体证法同第1种。
法3.凡构造须有依据有目的，不是盲人摸象，本题的条件线索有：等边三角形，30度直角三角形，中点；对应的方法线索有：构造双等边，构造中位线，旋转变换等。如下图，取AB的中点G，相当于把ΔCEA旋转至ΔCFG。
法4.类同于法3，如下图，取AD的中点G，相当于把ΔCEA旋转至ΔFEG。
法5.如下图，截EG=DE，相当于把ΔCEA旋转60°至ΔBGA。
法6.类同于法5，如下图，截CG=BC，相当于把ΔCEA旋转60°至ΔGDA。
法7.法8.如下构造等边ΔADM、ΔABN，倍长AF。
由以上可以看出，问题从特殊变为一般，包括数量的一般化和位置的一般化两种情况，都要利用特殊与一般的联系，在原有思路与解法步骤基础上进行迁移改造即可。
数量一般化以后会产生未知的变量，可以用变量代入运算，若有无关的未知量可以再设参数，其它思路与方法不变，通常无关的参数会在运算中被代换消掉。
位置一般化以后可能产生新的关系，图形往往更加复杂一些，有时需要构造新的图形，以使相关元素产生联系得到需要的结论，总的思路与方法也不变。
[相关阅读：破解难题1]
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