课堂实录｜排列问题处理策略
彭老师
数学教书匠
同学们好，上节课我们学习了排列数和组合数公式。我们知道，我们引入这两个概念主要是为了解决分步和分类计数过程中的计算量问题。那么今天，我们主要介绍排列计数的一些常规方法。
彭老师
数学教书匠
我们首先看个问题：如果现在有4个男生和3个女生站成一排，会有多少种不同的站法呢？
李小男
肯定是7！了，因为没有任何其它条件的限制，其实就是一个全排列问题嘛。
彭老师
数学教书匠
那如果我们现在有一位甲同学要求不站在排头呢？
王小五
我觉得也可以考虑用排除法：如果他没有要求，是7！，如果他一定要站在排头，那应该是6！，这样用减法就可以了，那就是是7！-6！。
我觉着也可以按这个思路：如果他不站排头，我们可以让其他人先站排头，把他不愿站的位置给占了，那他就和其他人一样没有限制条件了，应该也是
。
彭老师
数学教书匠
应该说，大家分析的都非常好！综合大家的想法，我想以后遇到有特殊要求的排列问题时，我们可以优先考虑它，这种方法叫“特殊元素优先法”，当然，王小五的思路，也是另辟蹊径了，我觉得她的“排除法”也是非常的好！
彭老师
数学教书匠
那如果不仅甲同学不站排头，而且乙同学还要求不站排尾呢？
那我们就优先考虑他俩，让甲和乙先按要求站好，然后再让其他人站。那应该是……
王小五
总觉得哪有点不对劲啊……
李小男
如果甲站在中间五个位置，乙确实还有5种情况，但如果甲站在排尾了呢？
……那就依然还有6种啊！
嗯，确实没考虑清楚。
那如果这样的话，我们可以先考虑分成两种情况，然后再用分步原理！
彭老师
数学教书匠
非常好！在做排列问题的时候，如果遇到了需要分类的情况，那我们以后最好采用先分类、后分步的策略，这样处理起来，过程上可能会更加流畅一些！
老师，我想用排除法试一试！
如果没有任何限制条件，那应该是7的阶乘种，当甲站在排头且乙站在排尾时应该是5的阶乘，那总共就应该有7！-5！种。
甲不站排头且乙不站排尾的反面，好象不是这样的吧？
李小男
“且”命题的否定，不应该是“或”命题吗？
彭老师
数学教书匠
确实，用排除法是可以的，但一定要弄清楚它的反面、也就是“否定”是什么。正如刚才这位同学所说，本题的反而应该是“甲不站在排头或乙不站在排尾”，那就有四种情况，四种情况下分别计数应该还是比较方便的。
老师，我觉得也可以是：
用7个人的全排列减去甲站排头的情况，再减去乙站排尾的情况，但这两种情况有重复，就是甲站排头且乙站了排尾，减了两次，所以后面再加上5的阶乘就可以了！
彭老师
数学教书匠
大家鼓掌！说的非常的好！
办法总比困难多，看来，遇到问题只要仔细思考，我们或许也可以找到更好的办法的。
彭老师
数学教书匠
现在有两名女同学小华和小花，他们因为关系较好，非要站在一起怎么办呢？
小明
这个，这个嘛……
这个，有难度了……
我觉得用“穷举法”，应该可以，只是有点麻烦啊……
可以先选择两个相邻的位置，再让她俩站进去，其他人就没有要求了。
两个相邻的位置应该有1-2、2-3、3-4、4-5、5-6、6-7，共有6种情况，她俩站进去有2种，其他人的全排列是5！，用分步原理，应该是
彭老师
数学教书匠
说的很好啊，确实，在没有办法的时候，穷举法也不失为一种比较有效的方法。但，同学们是不是也可以这样思考：这两个同学，既然非要站在一起，那岂不是小花到哪，小华就跟着到哪嘛！两个人和一个人样。
彭老师
数学教书匠
我觉得，也不是不可以！
王小五
这个结果,和
是一样的！
彭老师
数学教书匠
太好了！如果在排列时，有两个元素非要排在一起，或者说叫“相邻”吧，按照这种思路，就可以将它们捆绑在一块进行处理了。那我们不妨把这种方法，叫做“捆绑法”吧！
彭老师
数学教书匠
那以后，我们遇到这种”相邻问题“时，就用……
彭老师
高中数学一线
那如果小华和小花不愿意站在一块了呢？也就是不相邻了呢。
那她俩之间一定会有人！
有几个呢？
分类不就行了！
除了她俩，还有5个人，那她俩之间最多有五个人，最少一个人。
这个方法好，也符合老师特别强调
的:“化归思想”了。
如果她俩之间一定有人的话，那她
俩不就是在别人的空隙里的吗？
那我们可以让其他人先站好，然后将她俩塞空里！
我可以让甲和其他没有要求的五个人，共6个人排成一排，排好后出来了7个空，乙除了不能选择甲左右的两个空之外，其它的5个空都是可以选择的。所以应该是……
李小男
彭老师
数学教书匠
大家分析的非常好。那么按照我们现在的分析，我认为，象这样的”不相邻“问题，我们以后都可以考虑用这种”插空“的方法，虽然两位同学的插空方法不一样，但是都是可行的。
但是相比较而言，哪一种方法思考的时候可能会更方便些呢？
第二种！将两个不能相邻的元素同时插空。比如说，如果以后遇到有三个人不能相邻时，一个一个插空就比较麻烦。
彭老师
数学教书匠
我也有同感！按照这种感觉，如果有哪些元素要求不相邻，我们就用它们同时去插空，当然，他们插空之前，其它的元素要先排列好，才会出来空的。
彭老师
数学教书匠
我们看下面这个变式：如果这7个人中，甲乙要求相邻，但不能和丙相邻，有多少种不同的站法？
彭老师
数学教书匠
如果大家理解的还可以，我们看个变式吧：
某人射击8枪，命中了4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？
大家可以认真的思考并讨论下。
有点难要好好思考王小五
我觉得这个思路挺好。
我也是
彭老师
数学教书匠
首先可以肯定的是，她用了捆绑和插空两种方法，确实是没有问题的。但是，我现在有点担心的是：打枪分为命中和未命中，真的和前面的人的站队是完全一回事吗？
李小男
好象应该是有区别的
……
彭老师
数学教书匠
我们这样看，如果把命中的记作a，没命中记作b，那这个问题实际上就是4个a和4个b之间的一个排列，只不过要求其中有且仅有3个a是必须连在一块的。我想，这与前面的人的排列问题还完全一样吗？
彭老师
数学教书匠
彭老师
数学教书匠
比如，大家看这个题：如果3个a和b、c、d的每一个排列都是一个英语单词，则一共可以构成多少个英语单词？
彭老师
数学教书匠
大家从这个图中能受到什么启发呢？
因为3个a都是一样的，所以只要从6个空位当中选择3个空位，空位选出来，3个a就自动填进去了，剩下的b、c、d在三个空位中随便填就行了。
那应该是——
其实，既然3个a都是一样的，所以只要有空它们就只有唯一的填入方式，那我们只要把其它的不同字母b、c、d先填进去，剩余三个空给a就行了。
应该是——
彭老师
数学教书匠
说的都很好！因为对于相同的字母来说，只要有位置，它们就自动填入，只有一种方法。
那这样说的话，以后凡是有相同元素的排列问题，我们都从位置上去考虑，对于相同的元素，要么把它的位置先选好，要么先排其它元素、把它的位置留好，都是可以的。
相同元素，选空或留空处理！
彭老师
数学教书匠
好，这节课我们主要就站队的问题，介绍了几种常见的方法：
特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、相同元素的排列选空或留空处理，另外，还有先分类后分步的基本要求。
虽然我们讲了这些常规方法，但在具体问题中，我们还需要根据不同的情境进行转化。
思考：（1）一排连椅上共7个座位，现有4人就坐，则3个空位中有2个连在一起的有多少种坐法？
（2）从1-9这九个数字中任取三个互不连续的数，共有多少种不同的取法？
（3）7个人围圆桌而坐，共有多少种不同的坐法？
（4）一质点每次只能向右或向上移动一个单位，则质点从原点移动到（8，4）处，共有多少种不同的移动方案？