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《平行四边形》复习专题

张鼎文 以微课堂 2021-08-08



写在



前面

     在关于平行四边形的中考题中,常出现较难的“两定两动”问题,本讲用三个例子,帮助同学们学会盲解!






例1

在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0),C在y轴上,D在直线y=x-2上.

(1)若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标.

(2)若以A,B,D三点为顶点的三角形是等腰三角形,求点D的坐标.

(3)若以A,B,D三点为顶点的三角形是直角三角形,求点D的坐标.

第(1)问分析:

这是笔者原创的一道题目,A,B为两定点,C,D为两动点,即“两定两动”平行四边形存在性问题.常规解法是以AB为边,以AB为对角线,先分类讨论,再在坐标系中画出三种草图,进行求解.但实际作图过程中,许多学生会受限于原题的图,出现画不全的情况.若题目无图,则更难画全.

本题的草图如下:

那么有没有更好的办法呢?

其实是有的,核心思想是将“两定两动”转化为“三定一动”,分三步走.

(1)设参

我们可以设在y轴上运动的点C的坐标是(0,a),并把它看作一个定点.

(2)画图

无需坐标系,大致画出A,B,C三点的位置,标上坐标,然后连接AB,AC,BC,将这三条边均只看作对角线,即简单,又可保证分类不遗漏.利用平行四边形对角线的交点是其各自中点,从而利用中点公式,将第四个点D的三种情况的坐标都表示出来.

(3)再代入

此时点D的坐标是含参数a的,再将含参数的点D的坐标代回原解析式y=x-2中,即可求出点D的坐标.

解答:

第(2)问分析:

要使△ABD是等腰三角形,则其中任意一边可作为腰,也可作为底.但我们不妨与平行四边形一样处理,任意一边都只作为底考虑,则另外两边即为腰.

AB,AD为腰,则A为顶角顶点.

AB,BD为腰,则B为顶角顶点.

AD,BD为腰,则D为顶角顶点.

若要作图找出所有情况,即八年级上册所熟悉的“两圆一线”问题.

本小问只涉及一个动点D,可以直接设其坐标为(x,x-2),当AB,AD为腰,或AB,BD为腰时,可利用距离公式,表示AD,BD的长度,利用与AB相等的条件,建立方程,求出点D的坐标.

当AD,BD均为腰,别忘了此时点D在AB的中垂线上,可直接知道点D的横坐标.

解答:

第(3)问分析:

要使△ABD是直角三角形,同样考虑三种情况,∠BAD=90°,∠ABD=90°,∠ADB=90°.

由于AB在x轴上,∠BAD=90°或∠ABD=90°时的情况非常简单,只需过点A或点B作x轴的垂线,与直线y=x-2的交点即为点D.

而当∠ADB=90°时,有同学会选择勾股定理逆定理,但要两次涉及距离公式,较为繁琐.其实可以联想平时最不会用的直角三角形中重要的一条性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,就变成两点距离为定值问题了,计算会更简便,当然这其中的本质,到了初三学过圆以后,你会更加明白.

解答:



例2

已知在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(m,n),C(-2,10),D(-5,p),且p≤n.

(1)若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形,请用含p的代数式的坐标重新表示点B.

(2)若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是菱形,求n的值.

(3)若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形,求n的值.

         点击下方“阅读原文”收看精彩的例2、例3解析

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