都是45°惹的祸！！！

引言

这道题在（”初中数学解法研究“教师交流）微信群里引起了一次大讨论，通过大家集思广益，得到了许多精妙的证法，老张特总结如下，供大家一起探讨。

以下精彩解法由这些老师提供：

张宏伟，应文钦，张胤睿，冬老师（网名）

惹祸的题目

分析

分析：让老张带着你从结论出发来分析这个问题，要证的是两条线段相等，首先想到的就是利用三角形全等，但是在图形中找不到包含AE和DE的两个全等三角形，所以就需要来构造这样一对包含AE和DE的全等三角形，下面就从不同的角度罗列的几中构造的方法。

方法一

象这样添两条高，为什么这样添呢？

1、构造了两个包含AE、DE的直角三角形

2、这是两个等腰三角形的高（等腰三角形三线合一）

3、这又是两个“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”的基本图形

接下来如何证明这两个三角形全等呢？有一对直角显然相等，再证另一对角相等，有点难，那么围绕我们添的这两条高来分析一下，看看有没有可能得到对应边相等.

好了，证明三角形全等的三个条件都搞定了，这个方法的关键就是两条高，因为有了45度等腰直角三角形，这条高的作用就更加的突出了.

方法二

延长DF交AC于点N，联结NE，构造这样一对包含AE和DE的三角形，如何来证它们全等呢，让老张一一道来.

利用等腰直角三角形+矩形，将DE与AN通过BD联系在一起，证得相等；同时得到直角，再利用等腰直角三角形得到FE=NE，这样得到两组对应边相等，还差它们的夹角

这个方法主要就是构造了一个矩形和一对有135度角的全等三角形，怎么想到135度的呢，因为135度是45的补角嘛~！

还可以证这对三角形全等：

这样是不是更直接了一些呢！

方法三

因为点E是FC的中点，我们常用中点来构造一对关于中点成中心对称的全等三角形。

如图，延长DE至点M，使EM=DE，分别联结AD，AM，MC，很容易证得这两个三角形全等吧！

然后再证第二对三角形全等~

这样，最终我们得到了一个等腰直角三角形+等腰三角形的中线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，搞定！

这个方法还是我们常用的，围绕中点构造中心对称的全等三角形，你要好好琢磨琢磨噢！

方法四

补全这个正方形，将AC转换到EM的位置

有没有发现，DF//NE//MC+点E是FC的中点，利用比例得到点N是DM的中点，OK，再证DE=ME，这个方法也很巧妙吧！

其它方法

这道题的证法很多，以上是老张挑选的四种比较简单的容易想到的证法，下面再给大家罗列一些添辅助线的方法，有兴趣的童鞋可以自己 试一试噢！

跟着老张玩数学

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