八年级：反比例函数面积专题

写在前面

《反比例函数》是整个初中阶段数学的难点，其隐含结论之多，计算复杂度之大，甚至超过了初三的二次函数，但如果掌握了一定的解题技巧，许多题还是可以秒杀的．因此，计划分两讲来谈谈必考的面积专题，本讲主要谈谈其中最重要的|k|的几何意义，并如何用其来解题．

一、基本结论

考虑到许多题目经常要将最初的矩形，三角形进行等积变形，因此，我将许多与|k|相关的图形面积作了一个整理．

二、实战分析

例1：

分析：

由于点A，点B都在双曲线上，且都作了x轴的垂线段，那么可以尝试向y轴作垂线段，补成矩形，由于AB∥x轴，则只需延长BA与y轴相交即可，利用面积相减．

解答：

变式1：

分析：

本题与例1类似，由矩形换成了三角形，方法不变，因为AB∥x轴，可考虑等积变形，将△ABC面积转化为△ABO面积，然后继续延长BA，利用面积相减．

解答：

变式2：

分析：

思路很简单，将平行四边形等积变形为矩形，而矩形面积又为两个小矩形面积之和．

解答：

例2：

分析：

四边形PAOB不是我们熟悉的四边形，因此求面积无非是割补，分割成2个三角形计算，或者补成矩形减去其余面积，显然这里采用后者．因为点P，A，B均在双曲线上，用矩形的面积减掉2个小三角形的面积即可．

解答：

变式1：

分析：

本题与例2类似，知道了四边形面积，反过来求k，思路是类似的．这里的点F是关键，它是AB的中点，那么自然想到OF应该作为中线，即连接OB，△OAB的面积是△OAF的两倍，而OB又是矩形对角线，又平分矩形面积，则矩形面积是△OAF的4倍，题目一下变得简单．

解答：

变式2：

分析：

由前面题的经验，我们应该想到，只要在双曲线上的点，都要想到考虑作坐标轴的垂线段，构造矩形或三角形．显然，这里过点M作垂直，表示出矩形的面积，而M作为对角线交点，所构造的矩形面积是整个大矩形面积的四分之一，下面方法又一致了．

解答：

小       结

由此可见，直接利用|k|的几何意义，可以秒杀很多反比例函数的求面积，求k的小题，但我们该怎么思考呢？

笔者认为，关键在于，尝试过双曲线上的点，作坐标轴的垂线段，构造矩形．

对于一些三角形和平行四边形的面积，则可以利用等积变形。对于含有中点，对角线交点的问题，则要联想已学结论，考虑部分与整体之间面积的联系．

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