相似基本模型2——母子形与一线三等角
The following article is from 积余鼎尖数学教学 Author 张鼎文
写在前面
上一讲，我们具体研究了相似的基本模型1，A型和X型．本讲，我们介绍更加常见的2种，母子形和一线三等角，包含它们的变式．
一、模型建立
母子三角形及射影定理
类母子三角形及类射影定理
二、实战分析
例1：
如图，在△ABC中，AC＞BC，D是AC边上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是______（只要求填一个）；
（2）若△CBD∽△CAB，且CD＝1，BC＝2，求AD的长．
分析：
(1)∵△CBD和△CAB中，∠C是公共角，
∴只需再有一个角相等，即可判定△CBD∽△CAB；
(2)显然这是一个类母子形，则可利用对应边成比例转化为类射影定理解决．
解答：
例2：
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作CE∥AB，BE分别交AD、AC于点G、F．求证：BG²＝GF·EG．
分析：
本题中，我们尝试把乘积式转化为比例式，发现三条线段都在同一直线上，显然无法找到相似三角形，这时我们再思考，点G的位置是在BC的中垂线AD上，那么是否可以把BG转化呢，自然想到连接CG，此时涉及的三条线段为CG，GF，GE，则最终转化为求证△CGF与CEG相似．
解答：
例3：
如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H，求证：DE²＝EG·EH
分析：
本题与例2类似，又是共线的三线段之间的乘积式，我们可以把DE²转化，考虑到有一个现成的母子形，则立刻可以得到DE²＝EB·EA，转化为四条线段的乘积式，再转化为比例式，问题最终转化为证明△BEG和△HEA的相似．
解答：
三、模型再建立
一线三等(直)角
以上三种是基本的一线三等角模型．
图1中，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝90°，也就是我们最常见的一线三直角模型，易证△ABC∽△CDE．
图2是锐角相等的一线三等角，∵∠ACD＝∠ACE＋∠ECD＝∠B＋∠BAC，∴∠ECD＝∠BAC，又∵∠B＝∠D，易证△ABC∽△CDE．
同理，图3是钝角相等的一线三等角，与图2类似，利用外角相关知识，可证∠ECD＝∠BAC，易证△ABC∽△CDE．
四、实战再分析
例1：
如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为_________
分析：
由于△ABC是等边三角形，∠APD＝60°，马上可得∠B＝∠APD＝∠C，一个典型的一线三等角问题，易证△ABP∽△PCD，则利用对应边成比例即可求．
解答：
例2：
如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
分析：
由折叠知，∠ABE＝∠AQB＝∠BPE＝90°，则一线三直角模型十分清晰．
第二问要证△PBE与△BAE相似，先可见有∠ABE＝∠BPE＝90°，而这两个角要作为夹角，则成比例的四条边是AB，BE，BP，EP，由第一次相似，找到成比例的对应边是EP，BQ，BE，AB，想到将BQ转化为BP．
解答：
例3：
△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
分析：
本题可以说是例2的变式，又由等腰直角三角形和45度三角板，可知∠B＝∠C＝∠EPF＝45°，则一线三等角的相似一目了然．而第二问中，还是有∠B＝∠EPF＝45°的条件，则涉及的边应该是EB，EP，BP，PF，而△BPE∽△CFP，涉及的边是EB，EP，FP，PC，则必须让BP和CP相等，才可进行边的转化．
解答：
待续
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