[特稿】中考压轴题之特殊的平行四边形（1）

☝ 点击蓝字，看看你的朋友中有多少人关注

以微课堂

          初中精品微课， 数学奥林匹克国家一级教练执教。

考察特殊的平行四边形的综合题，题型一般分为三类，第一类：在四边形里特殊的线段或角（三角形）旋转探究型，第二类:在四边形中动点引发的探究线段间的和差倍分关系或位置关系，第三类图形形变后的数量（位置）关系的探究。在这道题目的解题过程中，需要用到多个章节的知识，甚至数形结合思想、分类讨论思想、类比思想等多种数学思想的混合应用。如果学生出现问题多表现在以下方面：

一、基础知识存在缺陷（有薄弱环节或漏洞）。

二、无法抽象熟悉模型，或者看到局部熟悉环节就冒进，导致陷入困境裹足不前，或者思维定势，不能自拔无法自救。

那我们如何教会学生解题呢？万老师以2018年费县一模为例先探讨第一类旋转型综合题。

已知：在正方形ABCD中，∠MAN=45°∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它的延长线）于点M、N.

（1）当∠MAN绕A点旋转到BM=DN时（如图1），线段BM、DN、和MN之间的数量关系是        。

（2）当∠MAN绕A点旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间的数量关系是        。写出猜想并加以证明。

（3）当∠MAN绕A点旋转到如图3的位置时，线段BM、DN、和MN之间的数量关系是        。

看到这道题，我们不要急于动手，先要想象并弄懂它所描绘的背景。

     出现条件孤立分散不易联系这种情况的时候，我们可以合而统之的策略对付它。很显然，我们应采取旋转技能使它们产生联系。

题目的核心是旋转，那我们首先从概念出发，什么是旋转？旋转前后怎么样？怎么样旋转？

因此我们要掌握旋转的三大要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角度（一般遇到多少度旋转多少度），从而达到以静制动的目的。而旋转90°往往带来的是全等。

点M、N在CD、BC上位置发生了变化，从而导致△ABM和△ADN发生了形变，本质上没有变，所以聪明的学生完全可以类比着第一问把第二问、第三问做出来。

题目讲解到这，很多老师也就结束了，反而忘记了去衍生问题。题目含有45°和90°，标准的初中几何模型之半角模型问题。

变式：已知：在正方形ABCD中，∠MAN=45°∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交对角线BD于点M、N.探究线段BM、DN、和MN之间的数量关系是        。

如果题目进一步挖掘变式：

已知：在等腰直角三角形△ABC中，∠BAC=90°，∠MAN=45°∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交边BC于点M、N.探究线段BM、DN、和MN之间的数量关系是        。

这样，这道题就基本完成了任务，真正变成了一题多变，多解归一，事实上半角模型还有很多结论。有前辈大师整理了11个结论。（喜欢研究的老师可以关注我）

 欢迎收看《以微课堂》微课，作者简介：四星级重点中学高级教师、数学名师。多次获市优质课一等奖，市教学能手，数学奥林匹克国家一级教练员（最高级别）。

《以微课堂》旗下公众号矩阵

 长按二维码识别关注

     小学版           初中版           高中版