查看原文
其他

【名师专题】初识“12345模型”

以微课堂 2021-08-08

The following article is from 有一点数学 Author 刘岳

 点击蓝字,看看你有多少朋友关注

     

以微课堂

          公益课堂,奥数国家级教练

    与四位特级教师联手执教。

几何图形中经常会出现一些特殊角,熟悉的有30°、45°、60°等等,特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中,也是解题思路来源之一。


比如看到30°角我们会想到,45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不明,60°甚至能牵出一只等边三角形。


关于特殊角,除了用角度表示,诸如15°角的倍数,还可以用三角函数表示,只要最终的结果是:(1)好看;(2)好用,就可以将其归为特殊角。


比如tanA=1/2,诚然我并不知道∠A的度数到底是多少,而且∠A也一定不是一个整数度数,但这并不妨碍∠A的特殊性,∠A所对的直角边是邻边的两倍,这与30°角的并无本质区别。

打开三角函数的大门,打开新世界。


今天,故事的主角也是一个特殊角,哦不,是一组特殊角。



01从一道北京中考题说起


【2019北京中考第12题】

如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=___°.(点A、B、P是网格线交点)


解法有很多,这里就根据现有的方格纸来构造一下:

∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°


这里的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角,除了它们的和为45°之外,用三角函数的观点来看:

tan∠PAB=1/2,tan∠PBA=1/3

这个正切值可以说很好看了。



02“12345模型”


12345模型


对于这里的数据,为了便于记忆,通常称为“12345”模型。


上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论,考虑到使用这个结论的多样性,以下用3种方法给出证明:


法一:方格纸中的构造

小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目:求∠1+∠2.

考虑∠1和∠2的正切值,这不正是刚刚所说的α和β吗?


构造等角,将α和β组合到一起:

根据这里的等腰直角△ABC,可得∠1+∠2=45°


此外,模型还可变式为:




法二:勾三股四弦五

如图,AC=4,BC=3,AB=5,这个三角形我们再熟悉不过了。在这里:



分别延长CB、CA可构造构造

        


此处我们还可得:



这个也是在解题中常用的结论。


法三:构造矩形

直角中夹一个45°角也是一种常见的构图。


此处我们还可得:




03慧眼识角

做题从来都不是靠题目告诉我什么,而是结合已知信息,分析这里需要什么


1已知45°+α寻β、已知45°+β寻α

留意题中给的45°角以及由正切值确定的α和β。


【2018湖北中考第9题】

如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是(    )

A.1         B.1.5        C.2         D.2.5


【分析解答】

根据BG是AB的一半,可得tan∠BAG=1/2,

连接AE,易证△AEF≌△AED,

∴tan∠DAE=1/3,∴DE=2,

故此题选C.


【2019盐城中考第16题】

如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是_______________.


【分析解答】

根据解析式可知:


即可求得C点坐标(3,0),可求得解析式。


【2017浙江丽水第16题】

如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点,已知点C(2,0),点P为线段OB的中点,连接PA、PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是__________.

【分析解答】

∠PAO=α,∠APC=45°,∴∠OPC=β,∴OP=6,∴OA=12,m=12.


【2017无锡中考第18题】

在如图的正方形方格纸上,每个小的四边形都是相同的正方形,A、B、C、D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于__________.

【分析解答】

取点E如图所示,则∠OAE=α,∠OEA=45°,∠BOD=α+45°,tan∠BOD=3



2发掘潜在的2α、2β

已知有3:4:5的直角三角形,其锐角的一半即为所求的α与β,反之,2α、2β也存在着特殊的三角函数值。


【2016甘肃天水第16题】

如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点A’位置,OB为根号5,tan∠BOC=1/2,则点A’的坐标为____________.

【分析解答】

tan∠ABO=tan∠BOC=1/2,∴tan∠ABA’=4/3,

即△A’HB三边之比为3:4:5,

再根据BA’=BA=2,

即可求得A坐标. 

【2017宜宾中考第7题】

如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是(    )

A.3       B.24/5    C.5      D.89/16


【分析解答】

考虑tan∠ABD=4/3,tan∠ABE=1/2,

∴AE=3,DE=5.故选C.


3正方形中的角度构造

正方形是中考最常出现的几何图形之一,由于对角线平分对角使得45°成为常客。


【一个小题目】

在正方形ABCD中,边长为6,BE=2AE,连接DE,在AD、BC上分别存在点G、F,连接GF交DE于H点,且∠GHD=45°,求线段FG=_________.

【分析解答】

观察发现tan∠ADE=1/3,且∠GHD=45°,条件已经具备,考虑GF可动,平移GH,将α、β、45°汇于直角处。可知CF=3,

所以DF长度为3倍根号5.




800节初中视频免费领!

    您可能也对以下帖子感兴趣

    文章有问题?点此查看未经处理的缓存