中考数学：当神奇的正方形邂逅美丽的45°角（下篇）

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当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇，它们之间会产生怎样的火花，生成怎样令人难忘的故事？今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目，开启一段神奇之旅！

神奇正方形邂逅美丽45°角，还会发生怎样的故事呢？！Go！

题3：（来源：高邮市赞化学校九年级二轮复习图形变换专题作业）

问题：如图5-1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．

[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EH，由已知条件易得∠EBF=90°，∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEF≌              ，得EF=ED．

在Rt△FBE中，由           定理，可得BF^2+EB^2=EF^2，由BF=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是                               ．

 [实践运用]（1）如图5-2，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；

（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

简析：本题就是几何里等腰直角三角形及正方形中半角模型与代数里方程思想的综合好题，下面就不按部就班地解此题了，关键是说清这里的模型及如何列方程即可搞定，下面一一列出，其实这里的模型在本人“成名之作”《旋转那些事》中已作介绍，这里我会详细展开；

（二）模型简证：

既然可以将点D关于边CE对称，当然也可以将点E关于CD对称，学生自行探究，不再赘述；

类比方法二与方法一，相当于第一步与第二步颠倒了个顺序，但前者可用旋转的眼光看问题，而后者却可以用翻折（对称）的眼光看图形，本质上还是有一定的差异的！

至此，原问题中的[探究发现]可得到深入解决！

模型二（正方形中“半角模型”）：

（一）模型结论：如图5-13所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°（即为直角∠BAD的一半，“半角”之名由此而来），则BE+DF=EF（三条线段满足和关系）.

（二）模型简证：

方法一（旋转：绕点A逆转90度）：

第一步：如图5-14所示，旋转变换；

第二步：如图5-15所示，全等变换（SAS），由此得BE+DF=EF；

既然可以逆转90度，当然也可以顺转90度，请自行探究，不再赘述；

值得一提的是，这里证明出△AEF≌△AE’F（SAS）后，容易得出系列“副产品”：

(1)在图5-16中，∠1=∠2，即∠AFE=∠AFE’；

(2)得出∠1=∠2后，“见角平分线，作双垂”，如图5-17所示，此时再过点A作AG⊥EF于点G，则易证明出Rt△AGF≌△Rt△ADF（AAS），这样立即可得到AG=AD；

也就是说，△AEF的高AG与正方形ABCD的边长相等；

这个结论的由来是非常有趣的！若是一开始就过点A作AG⊥EF，想要通过全等去证明AG=AD，进而证明BE+DF=EF成立，是一件很麻烦或者说不可能的事情（虽然可以通过同一法或者共线法等方式说明，但这对于学生而言已经不太适合）！峰回路转，我们上面先通过旋转方法，证明出BE+DF=EF后，竟然神奇般地又得到了AG=AD这个有趣的结论；

(3)得到AG=AD=AB后，容易证明Rt△AGE≌△Rt△ABE（HL），这样又有∠3=∠4，即∠AEB=∠AEG成立；

上面这三个有关边与角相等的结论，是在证明BE+DF=EF的过程中，几乎一气呵成自然生成的“附产结论”，同学们可对这里的逻辑顺序再认真反思一遍！

方法二（对称：将点E关于AF对称）：

未说明清晰，这里先隐去一些干扰线条，防止同学们受这里最麻烦的“共线”干扰，具体分析如下：

第一步：如图5-16所示，对称变换，将点E关于边AF对称；

第二步：如图5-17所示，连接DE’，全等变换（SAS）；

注意：这里还暂时得不出E’、D、F、C共线，这也是此法最麻烦的地方，也是我隐去一部分干扰线条的原因之所在，需要同学们用心体悟琢磨，如果绕不过来就PASS，只要学会旋转方法一，足矣；

第三步：如图5-18所示，还原线段CD，容易推出∠FDE’=180°，故点E’、D、F、C四点共线，由此易得BE+DF=EF；

既然可以将点E关于边AF对称，当然也可以将点F关于AE对称，学生自行探究，不再赘述；

类比方法二与方法一，相当于第一步与第二步颠倒了个顺序，但前者可用旋转的眼光看问题，而后者却可以用翻折（对称）的眼光看图形，本质上还是有一定的差异的，而且这个差异产生了第三步中证明“四点共线（或三点共线）”的麻烦，值得深思，“共线”的证明一直是学生的软肋，容易被忽略！

方法三（两次对称：同时将点B关于AE对称，点D关于AF对称）：

第一步：对称变换，如图5-19所示，将点B关于AE对称；

第二步：对称变换，如图5-20所示，将点D关于AF对称；

值得一提的是，这里的两个对称点D’与B’恰好重合，主要原因就是“半角”所致，即∠EAF=45°，为直角∠BAD的一半导致的；

当然第一次对称点A后，也可以证明Rt△DAF≌△B’AF（SAS），这样也可以达到同样的目的；

由此易得BE+DF=EF；

而原问题中的[实践运用]中∠EAF=45°跟上面的“两次全等”证法一致，不再赘述；

另一方面得到正方形中“半角模型”结论BE+DF=EF后，已知BE=2，DF=3，可得EF=5；

接下来要求正方形的边长，应该结合“方程思想”，即设BC=CD=x，则EC=x-2，FC=x-3，如图5-21所示，锁定Rt△EFC，有勾股定理列方程即可求出x的值为6，不再赘述；

至于最后一个小问题求MN的长，其实就是在此正方形中识别到前面已解决的等腰直角三角形“半角模型”，结合“方程思想”即可轻松搞定，具体可如下操作：

有趣的是，这道题还是本人主备任务里的作业题，还是本人得意门生张李同学提出了这个质疑，值得表扬；

我想表达的是，一方面学生及教师要有质疑的精神，这种质疑精神可能比解题能力还要重要；另一方面，命题人除了要考虑到题目方法的合理性，还要检验题目条件的合理性，这也是我想表达的解题后检验或验算的好习惯！

下面笔者对正方形中“半角模型”的一些常用结论，分几个层次总结如下：

（一点说明：这个模型中的结论几乎可以说成“取之不尽、用之不竭”，笔者也仅仅是略懂皮毛，这里主要起到抛砖引玉之效，主要还是针对学生层面而言！）

第二层次：若是将图5-23补成如图5-24所示，则有：

(1)∠ACP=∠QCA=135°，∠CAP=∠CQA，且∠CPA=∠CAQ（这里通过简单的导角即可）；

(2)△CAP∽△CQA，即为前面扬州中考题里提及的“等边相似”基本型；

第三层次：既然引出了相似的眼光，接下来，大家细细品味此图，会一发不可收拾地得到“无数组”与相似基本型有关的结论，一定会让你大开眼界以至于“大跌眼镜”，不信你看：

既然识别到了这两组“母子型相似”基本结构，紧接着一个很自然的问题随之产生，在这个图中还有没有其他的“母子型相似”结构？还有没有其他的相似基本图形？让我们“相似到底”！

第四层次：上面出现了“平行型8字型”相似结构，其实这里面还有极其丰富的“相交型8字型”结构，进而可以推出系列更有趣的结论；

如图5-34所示，易得△NAM∽△NDF∽△EBM，结合前面的结论，这样就有5个三角形两两均相似，即△NAM∽△NBA∽△ADM∽△NDF∽△EBM；

若是此时再结合“四点共圆”（遗憾地是，稍微超纲，了解也罢）的知识，就更有趣了，如图5-35所示，A、B、E、N四点共圆；

同理可得：如图5-36所示，A、D、F、M四点共圆；

上面我们通过“四点共圆”的相关知识，很简单地说明了△ANE及△AMF都是等腰直角三角形，但稍遗憾地是，这里的“四点共圆”属超纲内容，学生了解即可，不宜作为主流方法；

下面提供两种方式可有效避开“四点共圆”；

同理，如图5-40所示，△AMF也是等腰直角三角形，不再赘述；

值得一提的是，这里用到了“两次相似”，且第二次相似是通过所谓“SAS”（课堂上本人与学生已约定俗称，虽课本上并无此种说法）证明的；

同理，如图5-42所示，△AMF也是等腰直角三角形，不再赘述；

值得一提的是，这里依然要用到“两次相似”，且第二次相似也是通过所谓“SAS”（课堂上本人与学生已约定俗称，虽课本上并无此种说法）证明的；

上面避开“四点共圆”的两种方式都是通过“两次相似”来解决的，且第二次相似都是通过所谓“SAS”（课堂上本人与学生已约定俗称，虽课本上并无此种说法）证明的，有惊人的相似之处，越类比越有趣，同学们要养成这种“琢磨精神”！

得到△EAF∽△NAM后，再去导角，你会有更有趣的发现：

如图5-42所示，由△EAF∽△NAM知∠5=∠2；

如图5-43所示，易得∠5=∠1，从而回到图5-42中有∠1=∠2=∠5成立；

同理可得∠3=∠4=∠6成立；

且慢，我们在前面第一层次中不是得到过正方形中“半角模型”的一些“附产结论”嘛！其中就有∠1=∠2以及∠3=∠4啊，即FA平分∠DFE且EA平分∠BEF；

这样△EAF与△NAM完全可以只通过导角就可以轻松搞定了啊，即易知∠5=∠1且∠2=∠1，由此得到∠5=∠2，再加之∠EAF=∠NAM=45°是公共角或者继续通过导角得出∠6=∠3都可以得到△EAF∽△NAM这个有趣的相似结论；

强调一下，前面我们通过“导边”，利用所谓“SAS”得出△EAF∽△NAM再导角，竟然得出了前文早就得出的正方形中“半角模型”角平分线的相关结论，然后回头反思，也可以反其道而行，即先利用正方形中“半角模型”角平分线的结论导角推出△EAF∽△NAM后再去“导边”，上面的结论依然可以得到，极其有趣！这里说的啰嗦了些，请同学们想一想有没有道理即可！

下面笔者对上述所有的结论，分类作一次小结，这里不考虑结论说理的顺序性，如图5-44所示：

(2)从角的角度有结论：

∠1=∠2=∠5，∠3=∠4=∠6（对顶角、直角、45度角等就不列举了）；

∠CAP=∠CQA，∠CPA=∠CAQ（还有“四点共圆”后好多相等的圆周角等，不再列举）；

(3)从全等的角度有结论：

Rt△AGF≌△Rt△ADF（AAS）、Rt△AGE≌△Rt△ABE（HL）等；

(4)从相似的角度有结论：

△EAC∽△EQA∽△NAD∽△NQB；

△FAC∽△FPA∽△MAB∽△MPD；

△NAM∽△NBA∽△ADM∽△NDF∽△EBM；

△CAP∽△CQA，△EMN∽BMA，△EAN∽△CAD，△EAF∽△NAM；

详见上述的分析过程，一个字“爽”！此图形“宝库”中还有很多结论值得挖掘，几乎可以说是“取之不尽用之不竭”，不再展开！

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