山区表面积的计算与挂轮问题|华罗庚教你找材料

本文是 华罗庚：普及数学方法的三个原则 的延续。

2. 书本上寻

作为一个学者，首先想到的就是到文献中或书本上寻找材料。如果能注意分析比较，这样作也不失为一个好方法，可以从中获得不少经验和教训。例子很多，我仅举其中之一。如何计算山区的表面积? 我们在书上找到了两个方法: 一个是地质学家用的 Бауман 法, 另一个是地理学家用的 Волков 法。这些方法的叙述如下:

从一个画有高程差为 的等高线地图出发。 是高度为 0 的等高线, 是高度为 的等高线，…… ， 是制高点，高度为 h。是 与 间平面上的面积。

1) 地质学家的方法。分两步:

a) 令 ， 是等高线 的长度。

b)

地质学家把 看作是这山地区域近似面积值。

2) 地理学家的方法，也分两步

a)

b)

地理学家把 看作是这山地区域近似面积值。这是我们从不同的科学分支找来的两种方法。当这些方法摆在我们面前的时候，立刻就出现了两个问题: (i) 它们是否收敛于真面积? (i) 哪个方法好些? 使人失望的是，两个方法都不收敛于真面积 ，确切地说，命

则得出

证明是不难的，但似乎有些兴趣。我们把曲面写成为

这是以制高点为原点、高度为: 的等高线方程，则易知

如果引进一个复值

则

我们还发现了它们取等号的可能性。很不幸，只有在一些非常特殊的情况下，才取等号。

这个例子，一方面说明了数学工作者从其他科学领域寻找问题的可能性。另一方面，也说明了数学理论的作用。没有数学理论就不能识别方法的好坏。经过理论上的分析，我们就有可能由之而创造出更好的方法来。找出了较好的方法，是不是能够成为我们应该普及的材料 ? 不！ 这个方法只要让地质地理学家们知道就够了，也就是建议他们写书的时候改用新法、或作为我们教授微积分时的资料就行了。

虽然这不是我们可以推广的项目，但我还是觉得这样的工作是必要的。这样的材料积累多了，就可以使我们改写教材时显得更充实，习题可以更实际，不仅仅在概念上兜圈子，或凭空地去想些难题。我们也有一个体会，不广泛联系各个学科的教学改革是空的改革，联系的方面包括其他学科和工农业生产。

3. 车间里找

从一个车间或从个别工人处得来的问题，也有不少是很有意义的。我在这儿举共中一个作为例子，叫做挂轮问题。那是 1973 年，我们到了中国的中部洛阳市去推广应用数学方法。洛阳拖拉机厂的一位工人给我们提出一个 “挂轮问题”。用数学的语言来表达，给定一个实数 ，寻求四个介于  和  之间的整数 ,,, 使

最小。

这位工人给我们指出，从机械手册所查到的数字是不精确的。他以省  为例，手册上给出的是

他自己找到的

要比手册上的好。他问还有比这更好的吗?

这是 Diophantien 逼近问题。粗看起来容易，用连分数有可能解决这个问题。或许从  的渐近分数

中能找到比这位工人找出的数更好: 可是不行！ 以前的分数太粗糙，不比他的好。以后的分子分母都超过 ，不合要求。 是素数，不能分解为 。这个问题竟成了棘手的问题。怎么办？时间仅有一天！在我离开洛阳的时候，在火车站给我的助手写了一张小纸条:

我的助手着了这小纸条，知道我建议他用 Farey 中项法。

我的助手用这方法，又找出两个更好的分数。

及

最后一个分数是最好的。

上面是以  作为例子，但得出来的方法可以用来处理任意的实数。根据这个方法我们发现工程手册上有好些 、、、 并不是最好的，并且还有漏列。我在此顺便一提: 我们可以根据这些经验去帮助编写工程手册的单位和人员，改进他们手册的质量。

找到这个方法，是否能作为我们推广普及的材料? 虽然需要这方法的人比算山区表面积的人多些，但用 “挂轮计算” 的毕竟还是工人中的极少数。而且，如果工程手册改进了，也就可以起到同样的作用。于是，“选题”问题还需要多方探讨。