著名数学家伍鸿熙呼吁清除这个记号：带余除法的6个点

1 小学如何讲带余除法

带余除法是小学二年级下的内容。北师大版的教材是这样介绍带余除法的。

4根小棒搭成一个正方形。13根小棒可以搭成几个正方形，还剩几根小棒？

北师大教材讲带余除法

教材中用下面的式子表示计算结果：

教材中将上式中的“1”称为余数。“3”一般叫商，教材没有介绍。习惯上，我们将这样的除法称为带余除法，称13除以4等于3余1。

2 一线教师的问题

之所以翻看小学教材，查了下上面的叙述，是因为今天读到一篇文章《为什么余数前面是“6个点”？》。作者是北京亦庄实验小学包班老师卢红旭老师。

该文作者在对教材中有余数的除法这部分内容进行分析时想到一个问题：为什么在带有余数的除法算式中用省略号而不是其他符号来连接商和余数？她发现省略号可以表示“话未说完”，恰好可以说明后面还有余数。她想到学生也会有这样的疑问，于是在探究单中设计了开放性问题引导学生提出问题。学生果然提出“为什么余数前面是6个点？”这样的问题。

这篇文章提了一个好的问题，做了初步探索，但还有更多问题有待讨论。

3 带余除法不是除法

第一个问题是带余除法和除法有什么差别？

课本中是利用学生已经熟悉乘法（口诀），先介绍可以整除时的除法，如

然后再介绍带余除法。这样很容易使学生以为，带余除法也是一种除法，只是余数不是0的一般情形。

实际上，带余除法与除法完全不同。除法所得结果是一个数，一个确定的值。我们也可以用除法将

理解为一个数：用分数表示，是，用小数表示为。

但带余除法式子中，右边的不能看作数，如果看作数，从等号的理解来说，会导致矛盾。

例如，北师大教材中要学生对

说一说，并举例：

北师大教材讲带余除法举例“说一说”

13辆玩具汽车分给5个小朋友：

每人分到2辆，还剩1辆；

5片树叶可以粘成一朵花。13片树叶可以粘成2朵花，还余1片树叶：

我们看到，虽然都是，但意义不同。

从数的角度看，我们还可以从

得到

这样的矛盾。

4 带余除法的精确含义

实际上，我们知道，带余除法的精确数学含义如下：

对任意自然数和，，存在唯一的自然数和，使得

我们称之为与的带余除法，其中称为商，称为余数。

也就是说，带余除法可以表示为

这样的表示可以推广到多项式除法等与自然数除法类似的情形。例如，

表示与的带余除法，商为,余式为。我们一般不写成

5 清除等号的滥用

遗憾的是，小学教材中，为了省事，一直沿用

这样的记号。

英语中表示带余除法

德语中表示带余除法

但这样的表示是等号的滥用。我曾见老师教学生倒数（或学生自己发明）：用

表示3的倒数为。

国际著名微分几何学家伍鸿熙在《数学家讲解小学数学》中呼吁，应该将

这样的记号清除出所有教科书。

我推荐所有小学教师读一读伍先生这本书。读这本书不但可使我们更好地学习教材，还能引导我们质疑教材。