北大名师访谈 | 张顺燕谈教学艺术
编者按；本文曾被收入《教学的魅力——北大名师访谈录》。如下文章
也被收入该书中。
致广大而尽精微
澄其源而清其流
——张顺燕老师的教学艺术
采访记者：郭九苓；
采访时间：2008年10月29日
张顺燕老师简介
张顺燕，北京大学数学科学学院教授。自2000年起面向北京大 学学生开设素质教育通选课，潜心研究当代大学生综合素质教育的问题。目前主要研究方向：
1.数学文化，
2.数学史，
3.数学方法。
著作有
《数学的思想、方法和应用》（教育部“九五”重点教材，北京 市精品教材）、
《数学的源与流》
《复数、复函数及其应用》
《数学的美与理》（”十五''国家级规划教材），
主编《微积分的方法和应用》 （与中央电大朱晓鸽、张旭红合作）
主编《心灵之花》。
在中央台参与录制了《今日数学》、《微积分的思想和方法》；在中国教育台录制了《今日数学》、《微积分的思想和方法》，参与录制了《大学书苑》等节目。发表学术论文30多篇，曾获得国家教委科技进步三等奖。
正文
枯燥、晦涩的数学课在张顺燕老师眼中是一门艺术，“致广大而尽精微、澄其源而清其流、统于一而应于万”，“古今交融、中外交融、文理交融、科学和艺术交融”的方法集中体现了张老师的教学理念。
张老师用他特有的教学方法，让他的学生欣赏到了数学的魅力，并引导他们去领悟数学的本质。张老师还对当前数学教学中存在的问题，数学在现代社会中的重要地位有深刻的解。
一、优秀人才的成长需要科学的引导
记者：您好，张老师，您是个老北大人了，对北大的历史与发展历程都很了解：您在教学中有意识地对数学的本源问题与人类文明的关系，数学的美，公式、逻辑背后的思想进行过深入的思考，而且还专门开过素质教育课，研究大学生的综合素质教育问题。所以我觉得您的经验和建议对我们是非常有价值的，想请您谈一下大学的教育与教学。怎么备课、上课，怎么培养学习兴趣，大学生学习存在的问题，老师教学以及教育体制方面的问题都可以谈。可以从您惑触比较深的地方开始。
张老师：这里面我要谈两个问题，一个是教学内容，一个是教学方法。我们现在需要培养出杰出的人才，培养出一批科学家而不是技工。在教学质量方面，北大的教学质量比较高。各个大学的校长 中北大数学系出身的有好几个。但是这里有一个问题，为什么没有培养出称得上“大数学家”的人？原因比较复杂，与过去的社会环境有关，学术环境受到不正常的制约。
记者：为什么在那么压抑的情况下还能出来一批这么优秀的人才呢？您看现在，各方面的条件都已经很好，可是反而感觉优秀的人才并不如以前那么多了。
张老师：主要是过去要求比较严格，现在做不到。另外，当前的大学教学存在许多误区，常常是重结果，轻过程；重记忆，轻理解；重技巧，轻思想；重局部，轻整体；重现状，轻探求。培养水平下降还有一个更为直接的原因，一一这两年的情况我不知道了，20世纪90年代的时候，我给研究生开过课，上课的时候有本科生、硕士生、博士生。奇怪的是，听不憧的学生更多的是研究生而不是本科生。我耳朵不好，后面研究生问问题我听不清，我就问坐在前面的本科生听懂了没有，他们说听懂了，我就说你们给解释一下。甚至有的博士生都听不懂，我当时就很惊讶。
记者：现在可能也是这样。北大很多本科生的能力是比研究生高，研究生比博士生高。
张老师：这个事非常反常，所以他们做不出好成绩来。你本来就没学懂，你怎么能做出好成绩呢。现在的本科生水平并不低。举个例子，我在北大出版社出了一本书叫《心灵之花》，里面的文章都是本科一二年级学生写的。按水平，有些文章都可以在学术杂志上发表，有的已经发表了。为什么没有全发，是因为我发不起，发一篇文章杂志向我要1800元。这个钱我不能向学生要啊，只好向院里打报告，请院里给报销，院里同意了。但这不能是常规，否则院里也支持不起。后来我想就搞个论文集，就出版了《心灵之花》，文章都是学生写的；但读者的定位比较大众化，文章有限制，太专业的不能收录，一些水平高的文章只好割爱。
现在的学生不是没有能力，而是缺乏引导。
我刚刚从安徽回来，在那边我曾提到中学要不要搞兴趣班。数学好的就在数学小组，物理好的就在物理小组。现在呢，就是搞考试，否则升学率上不去，学校就没地位。而实际上，如果有了兴趣 班、教学正常化，可能效果会更好，升学率更高。真正学憧了，自然会做题。现在做那么多题目有时就是不动脑筋。
记者：对，绝大多数中学生现在根本没有时间去思考，就是大量地做题目。
张老师：在安徽我还跟他们说中学代数应该刷掉三分之二的题目。留三分之一就足够了。为什么呢？因为代数的主体就是一元二次方程。一元一次方程很简单，谁都会，一元三次方程中学不讲。中学六年，专门拿出一段时间学习一元二次方程还学不会吗？可是我们学了这么多年，做那么多题目，还是没有学到精髓。
记者：但是没有什么人敢这么干，因为大家觉得大量的训练比较保险险。如果搞了新方法，结果好了还行，要是升学率下来，老师都不敢承担这样的责任。
张老师：关键还是在于提高老师的能力。我给你举个例子，我们系有个教授，恢复高考后，他的四个孩子插队回来，就一两个月的备考时间。他就说代数就一元二次方程，三角只有几个公式加上正弦、正切、余弦这三个定理，而这三个定理最重要的就是余弦定理。
这样一个月的时间就挺充裕的，把一元二次方程和余弦定理掌握好就行了。结果四个孩子都考上了大学。要是像现在这样做题，三个月也不够,代数都学不完，你怎么做几何啊？现在的老师就是做不到统于一而应于万”。
二、教学的艺术
记者：能具体解释一下您的教学思想吗？
张老师：今年7月份在郑州开了个全国性的素质教育会议.关于怎么教学我讲了几点。
第一，“致广大而尽精微”（出自《中庸》）。
任何一门课的学习和教学都要从整体和局部两个方面入手：既重视整体又重视细节，还要重视部分与部分的联系。在微观上重析理、明其幽微;在宏观上看结构、通其大义。
柏拉图说：我认为，只有当所有这些研究提高到彼此互相结合、互相关联的程度，并且能够对它们的相互关系得到一个总括的、成我的看法时，我们的研究才算是有意义的，否则便是白费力气，亳无价值。
就今天的教育状况而言，整体观念更为重要。事实上，对于任何一门科学的正确概念，都不能从有关这门科学的片段中形成，即使这些片段足够广泛。水泥和砖不是宏伟的建筑。整体总是大于部分的总和。
印度诗人泰戈尔说：采摘花瓣，你将无法得到一朵美丽的鲜花。
第二是“澄其源而清其流”。一件东西你要知道它是怎么发展来的，要把源流弄清楚。所以我写了一本书叫做《数学的源与流〉。
法国人类学家施特劳斯(Claude L6vi-Strauss)说过：“如果这个人不知道他是从哪儿来的，就没有人知道他将往哪儿去。”法国大数学家庞加莱(Jules Henri Poincard)说：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。”通过学习数学史，我们可以知道数学发展的来龙去脉，数学与人类文明的密切关系。
数学史为我们提供了广阔而真实的背景，为数学整体提供了一个概貌，使不同的数学课程的内容互相联系起来，并且与数学思想的主干联系了起来。这是理解数学的内容、方法和意义，培养鉴赏力和创造力的最好方法。它能使我们摸到数学发展的脉搏，而脱离历史的教学法严重地影电 着对数学本质的理解。
记者：您说得太对了，我是学物理的。我在学一些定理的时候，就很想知道它们的发现过程，不是指简单的历史，而是思想的过程。但是上课不教这些，只是教一些结论。我觉得这种教学方式有点欲速则不达的意思。以为把源头省略直接讲结论可以在最少的时间掌握最多的内容，但是相反，如果不知道其来源，理解不深，则不利于以后自己从事科学研究。
张老师：明历史之变的方法有三。一曰求因，二曰明变，三曰评价。
求因：上溯以求之，看问题是如何提出的。
明变：重理其脉络。考察概念的演变史，方法的进步史。
评价：作警策精辟之言，评价理论的本质、意义和局限性。我们的教材和教学缺少中肯的评价，而没有评价就没有理解。
还要注意的一点是历史因素与逻辑因素的配合。没有历史，就不 清楚事件的意义，没有逻辑，就不清楚事件的结构。因而，我们要：析古今之异同，穷义理之精微，明理论之结构。
第三，”统于一而应于万”，就是以少御多，以简驭繁。如果学生能做到这一条就能够通透，举一反三。给一个记一个，谁的脑子也记不过来。笛卡儿(Renee Descartes, 1596-1650 ,法国著名哲学家、物理学家和数学家，解析几何的创始人)写过一本书叫《谈谈方法》,他提出研究问题的四条原则，这四条原则是最先完整表达的近 代科学的思想方法。其大意是：
(1)只承认完全明晰清楚、不容怀疑的事物为真实；
(2)分解困难的对象到足够求解的小单位；
(3)从最简单、最易懂的对象开始，依照先后次序，一步一步地达到更为复杂的对象；
(4)列举一切可能，一个不能漏过。
这四大原则对研究任何一门学科都有不容忽视的指导作用。我们所面临的研究对象都是层层包裹的复杂事物，而一般人碰到极其复杂的事物往往表现出手足无措，不知如何从这团乱麻中理出个条绪来。当我们进行一项科学研究时，必须首先明确我们的目标，然后把研究对象分成若干环环相扣的简单事物，并找到这些细分小早位的由简至繁的顺序，最后从最直观、最简单的对象入手，依照一条条理清晰的道路直达真理之本谛。总之，笛卡儿给出了一条由简人繁的路，告诉我们如何以简驭繁，用老子的话总结，就是“天下之难做于易，天下之大做于细。”
我们可以把笛卡儿的方法归结为两步：第一步是化繁为简’第二步是以简驭繁。化繁为简这一步最重要，通常用两种方法：将复杂问题分解为简单问题；将一般问题特殊化。化繁为简这一步做得好，由简回归到繁，就容易了。
例如，求四面体的重心。四面体的重心不好求。我们把它简化，先看它的一个面。这个面是三角形。很多人都知道，三角形的重心在三中线的交点处。如果你不知道，没关系。我们再简化，看三角形的一个边，这是一段线，它的重心容易求：在线段的中点。然后,我们把三角形看成是由平行线段组成的。因为每一条线段的重心都在中点，从而三角形的重心一定在三角形的中线上。进而一定在三条中线的交点上。如何求四面体的重心？把四面体看成由三角形组成，就可以求出四面体的重心了。
记者：这个方法确实是很普遍的科学思维手段。在物理方面如果遇到了三维问题不好解决，那就看二维问题，或从一维入手。方法论对于复杂问题是很重要的。
张老师：素质课我还要提四个交融：古今交融、中外交融、文理交融、科学和艺术交融。如果老师能做到这些，那学生肯定会很高兴，教学效果也自然好。
记者：您能说说您是怎么做到这些的吗？
张老师：从我的用词你就能看出古今交融的含义。“统于一而应于万”、“澄其源而清其流”、“致广大而尽精微”，这些都是一两千年前的词。我讲《中庙》、孔子、老子，也讲笛卡儿的方法论，当然不是只停留在语言上，要着重在实质内容上。批判地继承，有些问题必须毫无隐晦地讲出来。比如，近代科学是怎么诞生的？
原因是：
一，系统的科学实验和通过系统的实验找因果关系；
二，自然规律的数量化，将因果关系最终转化为数量关系；
三，用形式逻辑组织理论体系。
这三条是近代科学和古代科学的分水岭。我国古代缺少的正是这三条。
记者：您这种方式很好，不是简单地把名人轶事穿插其中，而是这些重要思想自然而然地成了教学体系中的一部分。这自然是中外结合的一部分了。教学中的文理结合，科学与艺术结合，是您教学思想的特色，您能介绍一下吗？
张老师：科学与艺术本来就是密不可分的，自然可以体现在教学过程中。例如，几何学发展的一个重要阶段是射影几何学的诞生。因为射影几何学的诞生是由透视画引起的，所以我们就从绘画开始，先欣赏达•芬奇的《最后的晚餐》，看它的数学结构。
明显地，把三维空间画在二维平面，必须利用几何原理。不光是 定性的远小近大，还要知道远小小多少，近大大多少，这就是数学问题。比如画铁路,铁道是平行的，但是我们的眼睛看来，两条铁轨并不平行,而是相交于无穷远处。怎么画？画家发明了一条定理。该定理凡是和画面垂直的线画出来时，要交于一点，这个点叫“主投影点'；凡是和画面斜交的平行线也交于一点，叫“次投影点”。同学听了都会很惊讶，没有想到，画画还要用数学定理。达•芬奇就说过：“欣赏我的画的没有一个不是数学家。”
正是达•芬奇这样一些画家在画画的过程中促进了一门几何学——射影几何的诞生，这是唯一一门不是来自科学而是来自艺术的几何学。科学与艺术的结合不是很自然吗？
记者：科学与艺术的结合在绘画、音乐、舞蹈中普遍存在，这种常合是非常自然的。
张老师：另外在教学中还要注意四个要素：哲学、历史'文化、应札为什么要哲学呢？因为我们要站在更高的角度来看问题，不能老是就事论事，否则有些根本问题你看不见；历史的因素即是上面所说的“澄其源而清其流”；文化就是要求在讲课过程中要把知识放在人类文化的背景中来讲，知识不是孤立事件；应用就是理论要回到现实，学以致用。