《魔鬼数学》｜大数据时代，数学思思维的力量。

核心书摘

《魔鬼数学》是世界知名数学家乔丹•艾伦伯格运用数学方法帮我们分析日常生活问题，帮助数学门外汉习得用数学思维思考问题的经典之作。作者用数学这条主线穿起了时空，从每时每刻到宇宙空间，中间还穿插了很多人和事物，比如棒球、里根经济学、伏尔泰、意大利文艺复兴时期的绘画、人造语言等方面，展示了数学知识的魅力和力量。

翻开这本书，我们将踏上一段精彩绝伦的数学思维之旅，旅行过后，相信你可以成为一个更棒的思考者。拥有了数学工具，我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻，从而做出正确的决策。

关于作者

乔丹•艾伦伯格，美国威斯康星大学数学系教授。曾于2013年在世界最大的数学会议——数学联合会议上做过主题演讲。文章主要发表在《连线》、《纽约时报》、《华盛顿邮报》、《华尔街日报》和《波士顿环球报》等媒体上，还为《石板》杂志写作“Do the Math”专栏文章，十分受欢迎。

本书鲜知

学什么？数学是如何让我们避免犯错的

你应该提前多长时间到达机场？民意调查的结果真的能代表人们的意愿吗？为什么父母都是高个子，孩子的身高却比较矮？用什么策略买彩票才能中大奖？

《魔鬼数学》告诉我们，数学与我们所做的每一件事都息息相关，可以帮助我们洞见在混沌和嘈杂的表象之下日常生活的隐性结构和秩序。数学是一门告诉我们“如何做才不会犯错”的科学，是经年累月的努力、争论所锤炼出来的。

除此之外，让本书充满智慧和乐趣的原因之一在于，作者谈论了各种各样的话题，从多头绒泡菌到犯罪学再到《贝多芬第九交响曲》，让你在阅读的过程中，可以体验医生、经济学家、股票经纪人、数学家、艺术家、侦探、数据科学家、彩票玩家等各种角色，与伯努利、欧几里得、阿基米德、牛顿、伏尔泰、贝叶斯、帕斯卡、布封、香农等历史上的大人物一起感受数学思维的力量。

作者摒弃了复杂的专业术语，用现实世界中的逸事、基础的方程式和简单的图表，向我们展示了即使最简单的数学知识也可以是一种有力的工具。

你还会发现

·“数学焦虑症”是指什么；

· 数学与生活的关系有哪些；

· 建立数学思维的必要性。

一、数学是一门怎样的学科

《魔鬼数学》这本书最大的作用，就是改变我们的认知，让我们重新认识数学这门学科。所以，今天的第一个维度的内容，我们就来看看数学到底是一门怎样的学科。

1、数学是让我们少犯错的学科

二战期间，美军为了降低战斗机的损坏率，准备强化飞机的装甲，但是装甲整个飞机，又会造成载重超标，所以美国军队思来想去决定只装甲飞机最容易在战争中损坏的部分，那到底应该是装甲机身还是装甲引擎呢？

经过观察他们发现，从战场上飞回来的那些飞机虽然弹孔分布不均匀，但总体来说，机身的弹孔多于引擎的弹孔。所以，他们决定强化机身的装甲。

这时候，天才数学家亚伯拉罕·瓦尔德站出来了，他说：“从数学上来说，飞机各个部位中弹的概率应该是差不多的。但引擎罩上的弹孔却比机身的少，失踪的弹孔去哪了呢？”他深信失踪的弹孔都在那些没能返航的飞机上。

引擎上的弹孔少，是因为引擎中弹的那些飞机很多都没能安全返回，这就好比，医院里的伤员腿部受伤的要比胸部受伤的多一样，因为腿部受伤的人能活下来，而胸部受伤的人很少能够存活。

最后，军官们听从了瓦尔德的建议，在飞机引擎的部位进行强化，果然提升了战斗机的存活率。

由此可见，数学就是一门让我们避免犯错的学科。它能够帮助我们少走弯路，更加理智地做出决策。

二、为什么要建立数学思维

到这里，我们已经了解了数学到底是一门怎样的学科，接下来，我们来看看本书的第二个重点内容：为什么要建立数学思维。

1、数学让我们看清事情的真相

日常生活中，很多人会做一些投资，比如购买基金，像基金这种理财产品，我们到底该不该买？什么时候买呢？很多人做决定时，靠的是感觉、运气或者是经纪人的推荐，往往购买时走势良好，当持有一段时间以后就开始亏，没有达到预期的收益，这其实就是没有看清事物的本质造成的，而当我们建立了数学思维之后，我们的判断就会更接近事物的真相。

有的经纪人看起来百发百中，那我们该不该购买他推荐的股票呢？来看一个案例。

一位巴尔德摩的股票经纪人，主动给你发来一份行业资讯，向你透露了某只股票会大涨的内部消息。一周之后，这位股票经纪人的预言应验了，这只股票真的涨了。

第二周，你又收到一期行业资讯，这一次，这位股票经纪人认为某只股票会跌，结果这只股票真的跌了。10周过去了，这份神秘的行业资讯每期都有新预测，而且全部都应验了。之后，第11周的行业资讯又到了，劝你把钱交给这位股票经纪人帮你做投资，因为你们联系期间，他对行业资讯的预测都非常成功，这充分说明这位经纪人的眼光敏锐，能捕捉到市场稍纵即逝的良机。所以，到这时候，很多人就乖乖把钱奉上了。

其实，从数学的角度来讲，经纪人每次做出正确预测的概率是1/2，要连续10次，全部命中的概率是1/1024，可以说，10次全中真的是小概率事件。

这位股票经纪人能够命中，有一个非常大的可能就是因为公司在发行共同基金时，通常会先在机构内部持有这笔基金，过一段时间之后才会向公众开放，这种做法叫基金孵化。

但是基金孵化，可不像它的名字听起来的那么温暖，通常公司会同时孵化多笔基金，尝试无数种投资策略和投资额度，让这些基金在母体里相互竞争。有的基金有很好的回报率，公司很快就开始向公众兜售这些基金，同时提供大量证据证明这些基金的收益情况，而收益不佳的基金就会被扼杀在襁褓中，公众通常都不会知道。

按理说，能存活下来的基金，收益应该也是不错的，但数据却恰恰相反，基金一旦到了公众手中，就无法维持它在公开发行之前的优秀业绩，收益情况大致只能处在中游水平。

如果你手头正好有一些资金可以用来投资，你最好抵制住诱惑，不要认购在过去12个月里，回报率达到10%的那些热门新基金。

那我们该怎么办呢？最好的方法是，接受那些听起来一点儿都不令人兴奋的投资建议。也就是说，不要寻找效果神奇的投资策略，而应该把资金投到一支收费较低、不怎么热门的指数基金中，然后长期持有。

因为巴尔德摩股票经纪人的这套把戏，彻头彻尾地是在欺骗你。他告诉你的的确是真实的信息，但是这些真实的信息会让你形成错误的结论。连续10次选的股票都涨这种情况，发生的概率实在太小。如果不是掌握了内部消息，根本做不到这么精准的预测。这就是数学的魅力，让我们在纷繁复杂中看清事物的本质。

三、生活中的数学思维

接下来，我们来看看本书的第三个重点内容：生活中的数学思维。

1、非线性思维的运用

很多管理者会特别关注管理程度高低的科学性，而且大多数管理者认为，管理程度越高越好。在这种思维下，管理者往往会建立严苛的考核制度，但马上就会发现，一开始加强考核会带来一定的收益，但是当考核过于苛刻时，就会产生负面作用。这是为什么呢？用数学思维解释就是，管理程度和管理效果呈现出非线性关系。非线性关系就是说两个变量之间不存在函数关系，而我们现实中的大部分关系都是非线性的。

比如税率和政府收入的关系，如果税率低，政府收入就会低，但是为了提高政府收入而一味地提高税率，就会降低社会的经济活力，打击人们的积极性。所以，税率和政府收入的关系是一条先递增再递减的曲线，这条曲线叫做拉菲曲线，它用数学的方式告诉我们过犹不及的道理，教会我们辩证地看待问题。

而相反地，线性思维，就是一种直线的、单向的、缺乏变化的思维方式。这种思维方式停留在对物质的抽象而不是本质的抽象。局限于线性思维，就很难把握复杂经济现象背后的本质和规律。

美国《肥胖》杂志上的一篇文章就犯了这样的错误。这篇文章提出一个令人尴尬的问题：“所有美国人是否都会超重甚至肥胖？”之后又马上给出一个肯定的回答：“会的，到2048年就会这样。”

可实际情况是这样的吗？20世纪70年代初，体重指数超过25（国际上常用的衡量人体肥胖程度和是否健康的重要标准）的美国人不到半数，到了90年代初,这个数字接近60%。到了2008年，几乎3/4的美国人都超重了。然而之后，超重人口的数量并没有按照预测的那样直线上升，而是出现了增长速度逐渐放缓的现象，甚至出现了下降的趋势。

其实，超重人口的增长态势和导弹的飞行路线一样，轨迹都接近于抛物线。超重人口的比例越高，未来体重可能超重的人就越少，因此超重人口的比例向100%靠近的速度就会越来越慢。在100%以下的某个时候，增长曲线甚至可能会变成水平线。

上面这些案例都告诉我们，用非线性思维方式思考问题的重要性。因为和线性思维相比，非线性思维认为事物发展是非平面的、立体化的、更加接近自然和事物的本质的。

2、该不该买彩票的问题

在生活中非常常见的一个问题，就是彩票到底值不值得购买？

其实彩票由来已久，这种博彩活动可以追溯到17世纪的热那亚，由选举制度衍生而来。在热那亚，每过半年，就会从初级议会的议员中，选出两人担任这个市的总督。但是，热那亚没有采用投票的方式来进行选举，而是从120张写有议员名字的纸条中任意抽出两张来确定当选者。

不久，热那亚的一些赌徒开始对选举结果押注。这种博彩活动，很快就流行起来。赌徒们觉得这种碰运气的游戏非常有趣，但遗憾的是，必须等到选举日才能有这样的活动，人们等得不耐烦了，就开始开发其他通过抽取纸条来赌博的方式，不同的是，他们用数字代替了政客们的姓名。

到了1700年时，热亚那的博彩活动已经采用了现代强力球的玩法，赌徒们努力地猜测，随机抽取的5个数字，猜中的数字越多，奖金就越高。彩票游戏很快就传遍欧洲，又传到北美洲。美国独立战争期间，大陆会议和各州政府都发行彩票，为反抗英国殖民统治者的战争筹措资金。于是，彩票迅速风靡全球，受到全世界人民的喜爱。

那我们应该买彩票吗？可以买，但从数学的角度来看，购买彩票的时候，需要考虑两个因素，一个是获奖的概率，另一个就是获奖的金额。两个因素的乘积就能得出一个数学概念，也就是数学期望。我们可以根据数学期望的高低来做出是不是要购买彩票的选择。

假设总共有1000万张彩票，只有一张能获奖，奖金是600万美元，中奖的概率就是1/100万，那么每张彩票的数学期望是0.6美元（600万美元*1/100万）。理性的选择是，如果购买彩票的价格低于数学期望，就可以选择购买。通常来说，这种情况很少出现，不过历史上也出现过彩票价格低于数学期望的情况。

2004年秋季的时候，美国一家彩票中心发现原来的彩票卖不出去，于是就发布了一种新规则，这个规则规定：如果一周之内没有人领走大奖、且大奖基金超过200万美元的时候，奖金就向下分配。这个规定让彩票的期望值迅速增长，高达5.53美元，而一张彩票才2美元。这样一来，从数学来说，购买彩票就变成了非常值得的事情。

于是，以詹姆斯·哈维为首的麻省理工的学生，一次购买了1000张彩票，获奖2000美元，大约是他们投资金额的三倍。但哈维没有就此收手，他们组成了随机策略小组，草拟通过买彩票赚钱的计划。

有意思的是，除了他们之外，美国东北大学还有一群人，也在用这个彩票赚钱，这群人更厉害，每次出手都购买30万元的彩票，获得了高额的利润，在7年的时间里，这个学校的学生通过彩票获利了350万美元。

当然了，这种有漏洞的彩票其实并不多，即使存在漏洞，也必须一次性大量买进才有可能获利。那为什么那么多人还是会去买彩票呢？经济学家费里德曼和萨维奇给出了一个解释，他们认为，计算彩票的收益，不只要考虑客观上的金钱效用，还应该考虑心理需求。

同样的100美元对不同的人来说效用是不一样的，对于一些人来说，这是一个足以让人心动的数目；但对于另一些人，可能只够随便玩玩。对于一个中低阶层的人来说，每周花五美元买彩票不是什么大大事，损失几乎为0，但一旦中奖就会直接进入一个新的阶层。按照这种效用来计算的话，你就会发现，一张彩票的数学期望会很高，无论输赢，买彩票都能给这一部分人带来生活上的乐趣。所以，就算明知道买彩票不会赚钱，很多人还是会买，彩票业也会一直发达。

数学期望理论，可以帮助我们从理性的角度分析一件事值不值得做。比如，多加班一个小时和少陪孩子一个小时怎么选？如果加班费过低，有人就会认为一个小时的薪酬带来的效用无法和陪孩子一小时的效用相抵消，那这种交换就不值，权衡利弊之后，就会选择不加班，陪孩子。

数学期望理论的存在，是为了让我们在左右为难、难以做出抉择的时候，从经济实用的角度做出合理的选择。

总结

以上就是《魔鬼数学》这本书的主要内容。通过《魔鬼数学》这本书，我们首先了解到数学并不是晦涩难懂的天书，它本质上就是一门和生活有关的学科，它能够让我们看清事物的真相，少走弯路；而如果我们能够掌握非线性思维、概率、数学期望、期望效用、回归平均值等数学概念和原理，很多生活中的问题都会迎刃而解。

就像艾伦伯格在书中所说：“用一个数除以另一个数只是单纯的计算，考虑清楚用什么除以什么才是真正的数学问题。” 

恭喜你和“今今乐道”读书会一起读完了你生命中的第 2273 本书，希望今天的内容能给你有益的启发。（编辑：苗远洋）

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（语音、文字、图片部分来自今今乐道APP和网络，老农整理）