典型题解析：导数应用之函数不等式的证明

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壹

与函数不等式证明相关的导数知识点

一、函数单调性的判定

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则

(1) 在(a,b)内f’(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上严格单调增加．

(2) 在(a,b)内f’(x)<0，则函数f(x)在[a,b]上严格单调减少．

二、函数极值第一充分条件

设f(x)在处连续，在x₀的某去心邻域内可导，则

(1) 如果f’(x)左正右负，那么f(x)在x₀处取极大值．

(2) 如果f’(x)左负右正，那么f(x)在x₀处取极小值．

(3) 如果f’(x)不变号，那么f(x)在x₀处不取极值．

三、极值的第二充分条件

设函数f(x)在处具有n阶导数，且

那么

(1) n为偶数时，为极值点，且n阶导数大于0，取极小值；n阶导数小于0，取极大值.

(2) n为奇数时，x₀不是极值点.

四、凹凸性相关的不等式结论

(1) 设函数f(x)在区间I上连续，若f(x)的图形是凹的，则有

若f(x)的图形是凸的，则有

(2) 如果在曲线y=f(x)上任意一点 (x₀, f(x₀)) 作切线，那么，凹曲线位于切线上方，凸曲线位于切线下方，即有

五、函数图形凹凸性的判定

设在内存在二阶导数，

(1) (a,b)内f’’(x)>0，则f(x)描述的曲线为凹弧；

(2) 如果在(a,b)内f’’(x)<0，则f(x)描述的曲线为凸弧．

六、最值定理

如果f(x)在[a,b]内连续，则必在该区间上取到最大值和最小值，即存在c,d∈[a,b]，有

七、闭区间上的连续函数最值求解步骤

(1) 求出函数在闭区间上的所有导数等于零的点(驻点)和导数不存在的点；

(2) 求出函数在以上各点的函数值与端点的取值.

(3) 比较以上各值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值.

贰

典型题解析

例：证明：当0<x<π/2时，有

证明1：(利用函数图形的凹凸性证明)令

当0<x<π/2时，F’’(x)<0，所以函数F(x)的图形为严格的凸曲线，从而有

所以结论成立.

证明2：(利用函数的单调性证明)由于0<x<π/2，所以

于是令

由于0<x<π/2时，0<sinx<x<tanx，所以可得F’(x)<0，由此可知函数F(x)在区间0<x<π/2上严格单调递减. 由于右端点等于零，所以函数F(x)>0，从而可知结论成立.

证明3：(利用最值不等式) 令

由此可知函数F(x)在闭区间[0,π/2]上为连续函数，因此有最大值M和最小值m. 令

在(0,π/2)只有唯一的极值点，且F(0)=F(π/2)=0，结合当0<x<π/2时，F’’(x)<0，函数F(x)的图形为严格的凸曲线，所以x=x₀取到极大值，也即函数的最大值，并且最大值是一个大于0的数，所以函数F(x)的最大值为F(x₀)，最小值为0，从而当0<x<π/2时，有

所以结论成立.

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