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高等数学：一个问得比较多的定积分不等式证明题参考解答
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以下是很多同学问到的一个习题，在这里集中解答一下，以下过程仅供参考，如果有更好的方法欢迎提供，如果发现解题思路与过程有错误也欢迎探讨和指出！
主要相关知识点：
泰勒公式、定积分的保号性、分部积分法
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设函数f(x)在[a,b]上二次可导，f’’(x)>0，证明：
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【解析】：因为问题中包含有二阶导数的已知条件，所以我们考虑泰勒公式；由于要证明的不等式中包含有中点的函数值，因此，考虑函数在中点的泰勒公式；并且由于证明的是不等式的命题，所以考虑带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。
于是有
其中ξ在x与(a+b)/2之间. 对上式两端在[a,b]上积分，则有
由于f’’(x)>0，被积函数大于等于零，所以上式的平方项积分大于0，于是上式左端不等式成立.
显然，利用上面的泰勒公式无法得到右边的f(x)与f(a)，f(b)的关系式，于是我们考虑写出函数在任意点x处的泰勒公式，即有
其中ξ在x与t之间，并且分别取t=a,t=b代入上式，于是有
两式相加，则有
对上式两端在[a,b]上积分，则有
上面最后一项积分的被积函数大于0，所以有
其中
代入上式，则有
由此可得
这样就证明了整个不等式成立.
【注】：这个证明过程也充分体现了有高阶导数与函数、函数值的问题，一般首先考虑的是泰勒公式！并且在没有指明某些特定值的情况下，一般在端点、中点，或者在区间内任一点的写泰勒公式.
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