《凹凸性、拐点与分析作图法》内容小结与课件节选

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一、函数图形凹凸性的不等式描述

如果曲线图形为严格的凹曲线，则：

(1)【割线特征1】设f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]上任取两点x₁<x₂，对于任意x∈(x₁,x₂)，有 

(2)【割线特征2】对任意实数λ∈[0,1]，恒有

(3)【割线特征3】或中点特征：

(4)【切线特征】设f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内可导，在(a,b)内容任取一点x₀，对于任意x∈[a,b]，有 

【注1】将上面的不等号改变符号，则凸曲线的不等式描述. 借助以上不等式描述可以判定曲线的凹凸性.

【注2】如果函数f(x)是区间[a,b]上的凹函数(凹曲线)，则局部极小值点也是全局最小值点，最大值一定为两个端点对应的函数值的最大值，相应函数也即为单谷函数；如果函数f(x)是区间[a,b]上的凸函数(凸曲线)，则局部极大值点也是全局最大值点，最小值一定为两个端点对应的函数值的最小值，相应函数也即为单峰函数.

【注3】借助图形的凹凸性特征可以用于证明函数不等式或常值不等式.

二、函数凹凸性的判定

【导函数特征】设f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内可导，描述凹曲线的函数f(x)的一阶导数f’(x)为单调增加函数，描述凸曲线的函数f(x)的导函数f’(x)单调递减.

定理设f(x)在(a,b)内具有二阶导数，

(1) 如果在(a,b)内，二阶导数f’’(x)>0，那么f(x)为严格凹函数(图形为凹曲线)；

(2) 如果在(a,b)内，二阶导数f’’(x)<0，那么f(x)为严格凸函数(图形为凸曲线)．

【注1】借助泰勒公式与切线不等式的描述可以验证该结论成立.

三、曲线图形的拐点及其判定

连续曲线凹凸性的分界点称为曲线的拐点．

【注1】特别注意，拐点是曲线图形上的点，所以为坐标点(x_k,f(x_k)).极值点是函数的极值点，所以为变量的取值x_k.

【注2】可能取到拐点的位置为函数二阶导数等于0的点或者一阶、二阶导数不存在的点.

【注3】如果(x₀,f(x₀))是函数f(x)的拐点，在x₀是函数f(x)的一阶导函数f’(x)的极值点. 曲线图形的拐点是导函数单调性分界点，也即描述曲线的函数二阶导数改变符号的点.

四、凹凸性、拐点的判定步骤

(1)写出定义域.

(2)确定凹凸区间的分界点：函数二阶导数等于0或者一阶、二阶导数不存在的点是连续函数凹凸区间可能的分界点，或可能的拐点. 以这些点为分割点分割定义域为定义区间.

(3)确定凹凸性与拐点的位置：依据二阶导数的符号，判定定义区间内函数描述图形的凹凸性和拐点的位置.

(4)写出凹凸区间和拐点坐标：凹凸区间一般写成开区间，也可以是闭区间(如果函数是闭区间上的连续函数). 拐点一定是坐标点(x₀,f(x₀)).

五、分析作图法的基本步骤

对于要求描述一个给定函数的图形的问题应该考虑和至少具有如下五个步骤：

第一步：函数f(x)的一般性质分析：确定函数f(x)的定义域、奇偶性(画一侧的图形)、周期性(画一个周期上的图形).

第二步：求一阶导数和二阶导数，确定使f’(x)=0的点及f’(x)，f’’(x)不存在的点x_k，即找出函数f(x)的可能的极值点和拐点；并以这些点x_k为分割点分割定义域为定义区间.

第三步：列表分析，分别根据f’(x)及f’’(x)的符号确定f(x)的单调区间和凹凸区间、极值点和拐点.

第四步：用渐近线界定曲线的变化趋势．分析并求函数描述的曲线的水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线.

第五步：描点作图，并标出关键点的坐标(包括与坐标轴的交点)，画出渐近线，用光滑曲线连接各关键点.

参考课件节选：

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