典型习题：(11021206)直角坐标系下三重积分的计算

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“直角坐标系下三重积分的计算”题型的求解思路：

如果三重积分的被积函数整体，或者经过加减拆项后的某项关于某个变量，或者三个变量的奇偶性；积分区域整体，或者经过分割以后的某个部分具有关于坐标面或原点的对称性；积分区域具有关于直线x=y=z的轮换对称性，则三重积分可以借助如下“偶倍奇零”或者“轮换对称性”的计算性质来简化三重积分的计算。

(1) 三重积分的“偶倍奇零”的计算性质

如果三重积分的被积函数满足

即被积函数分别关于z变量、x变量、y变量、三个变量同时具有奇偶性；而如果相应的积分区域分别关于(a)xOy坐标面对称、(b)yOz坐标面对称、(c)zOx坐标面对称、(d)原点对称函数，并记其中一侧的区域为Ω₁，则

●当被积函数为奇函数时，有

●当被积函数关于z变量为偶函数，有

(2) 三重积分的“轮换对称性”的计算性质

当积分区域关于直线x=y=z对称时，即描述积分区域的方程或不等式轮换x,y,z变量时，方程与不等式的描述形式不发生变化，如x²+y² +z²≤R²的球域，则在这样区域上的三重积分满足轮换对称性，即有

同样，如果积分区域关于平面x=y对称，则对于x，y变量具有轮换对称性，即

类似有积分区域关于平面y=z,z=x对称的轮换对称性计算性质。

关于直角坐标系下三重积分的计算参见：

相关推荐

关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：

• 第1节：三重积分计算的一般思路与步骤

• 第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析

• 第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

• 第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析

• 第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

另外有“第八届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”视频课堂的“07第三大题：三重积分计算的一般思路与方法”的分析、讨论与应用视频教学内容。

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